대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 호의 길이 합

문제

그림과 같이 A1(1,0)\mathrm{A} _{1} ( 1 , 0 ), A2(−1,0)\mathrm{A} _{2} ( - 1 , 0 ), A3(2,0)\mathrm{A} _{3} ( 2 , 0 ), A4(−2,0)\mathrm{A} _{4} ( - 2 , 0 ), ⋯\cdots에 대하여 OA1‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}}을 지름으로 하는 반원을 C1C _{1}, A1A2‾\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} A _{2}}}를 지름으로 하는 반원을 C2C _{2}, A2A3‾\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} A _{3}}}를 지름으로 하는 반원을 C3C _{3}라 하자.

이와 같은 방법으로 만든 반원 Ck(k=1,2,3,⋯ )C _{k} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )의 호의 길이를 lkl _{k}라 하자. ∑k=1nlk=189π\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} l _{k} = 189 \pi를 만족시키는 nn에 대하여, An\mathrm{A} _{\mathit{n}}의 좌표가 (a,0)( a , 0 )일 때, a+50a + 50의 값은? [4점] ①2727②3333③3939④6464⑤6969

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④

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해설

[출제의도] 수열의 규칙성을 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다. 호의 길이를 수열로 나타내면 수열 {ln}\left\{ l _{n} \right\} : π2,π,3π2,2π,⋯\displaystyle \frac{\pi}{2} , \pi , \frac{3 \pi}{2} , 2 \pi , \cdots 수열 {ln}\left\{ l _{n} \right\}은 공차가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}, 첫째항이 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 등차수열을 이룬다. ∑k=1nlk=n{π+(n−1)π2}2=189π\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} l _{k} = \frac{n \left\{ \pi + ( n - 1 ) \frac{\pi}{2} \right\}}{2} = 189 \pi ∴n=27\therefore n = 27이므로 A27A _{\mathit{27}}의 좌표는 (14,0)( 14 , 0 )이다. ∴a+50=64\therefore a + 50 = 64

태그

#등차수열#수열의 합#도형

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