대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 안의 두 원 반지름

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하고 중심이 O\mathrm{O}인 반원이 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위에 점 P\mathrm{P}를 cos⁡(∠BAP)=45\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{BAP} \right) = \frac{4}{5}가 되도록 잡는다. 부채꼴 OBP\mathrm{OBP}에 내접하는 원의 반지름의 길이가 r1r _{1}, 호 AP\mathrm{AP}를 이등분하는 점과 선분 AP\mathrm{AP}의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이가 r2r _{2}일 때, r1r2r _{1} r _{2}의 값은? [4점]

①340\displaystyle \frac{3}{40}②110\displaystyle \frac{1}{10}③18\displaystyle \frac{1}{8}④320\displaystyle \frac{3}{20}⑤740\displaystyle \frac{7}{40}

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①

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해설

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제 해결하기

θ\theta

반지름의 길이가 r1r _{1}인 원의 중심을 C\mathrm{C}, 선분 AP\mathrm{AP}의 중점을 D\mathrm{D}라 하자. ∠BAP=θ\angle \mathrm{BAP} = \theta라 할 때, cos⁡θ=45\displaystyle \cos \theta = \frac{4}{5}이므로 sin⁡θ=35\displaystyle \sin \theta = \frac{3}{5}(0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) (i) ∠BOP=2θ\angle \mathrm{BOP} = 2 \theta이므로 ∠BOC=θ\angle \mathrm{BOC} = \theta r1+OC‾=r1+r1sin⁡θ=1\displaystyle r _{1} + {\overline{\mathrm{OC}}} = r _{1} + \frac{r _{1}}{\sin \theta} = 1 r1=sin⁡θ1+sin⁡θ=38\displaystyle r _{1} = \frac{\sin \theta}{1 + \sin \theta} = \frac{3}{8} (ii) 2r2+OD‾=2r2+sin⁡θ=1\displaystyle 2 r _{2} + {\overline{\mathrm{OD}}} = 2 r _{2} + \sin \theta = 1 r2=1−sin⁡θ2=15\displaystyle r _{2} = \frac{1 - \sin \theta}{2} = \frac{1}{5} 따라서 r1r2=340\displaystyle r _{1} r _{2} = \frac{3}{40}

태그

#삼각함수#원#도형

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