공통수학2명제AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반례의 개수로 상수 구하기

문제

자연수 $a$ 에 대하여 실수 $x$ 에 대한 두 조건 $p$ , $q$ 가 $p$ : $x ^{2} - ( a + 1 ) x + a \leq 0$ , $q$ : $x ^{2} - 8 x + 15 > 0$ 일 때, 명제 ‘ $p$ 이면 $q$ 이다.’가 거짓임을 보이는 반례가 되는 정수 $x$ 의 개수가 $2$ 이다. $a$ 의 값은? [4점] ① $2$ ② $3$ ③ $4$ ④ $5$ ⑤ $6$

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③

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해설

$x ^{2} - ( a + 1 ) x + a \leq 0$ 에서 $( x - 1 ) ( x - a ) \leq 0$ $a$ 가 자연수이므로 $1 \leq x \leq a$ $x ^{2} - 8 x + 15 > 0$ 에서 $( x - 3 ) ( x - 5 ) > 0$ $x < 3$ 또는 $x > 5$ 반례는 $p$ 이고 ~ $q$ 인 $x$ 이므로 $1 \leq x \leq a$ 이고 $3 \leq x \leq 5$ 인 $x$ 이다. $a < 3$ 이면 반례가 없다. $3 \leq a \leq 5$ 이면 반례가 되는 $x$ 의 값의 범위는 $3 \leq x \leq a$ 이고 $a > 5$ 이면 $3 \leq x \leq 5$ 이므로 반례가 되는 정수는 $3$ 개이다. 반례가 되는 정수가 $3$ , $4$ 의 $2$ 개이려면 $a = 4$ 따라서 $a = 4$ 답 ③

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