공통수학2함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반례가 되는 일대일대응의 개수

문제

집합 X={1,2,3,4}X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}에 대하여 명제 ‘함수 f:X→Xf : X \rightarrow X가 일대일대응이면 f(x)=xf ( x ) = x인 xx가 XX에 존재한다.’는 거짓이다. 이 명제의 반례가 되는 함수 ff의 개수는? [4점] ①66②88③99④1111⑤1212

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③

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해설

반례는 XX에서 XX로의 일대일대응이면서 모든 xx에 대하여 f(x)≠xf ( x ) \ne x인 함수이다. f(1)f ( 1 )이 될 수 있는 값은 22, 33, 44의 33가지이다. f(1)=2f ( 1 ) = 2인 경우 f(2)=1f ( 2 ) = 1이면 f(3)≠3f ( 3 ) \ne 3이므로 f(3)=4f ( 3 ) = 4, f(4)=3f ( 4 ) = 3의 11가지 f(2)=3f ( 2 ) = 3이면 f(4)≠4f ( 4 ) \ne 4이므로 f(4)=1f ( 4 ) = 1, f(3)=4f ( 3 ) = 4의 11가지 f(2)=4f ( 2 ) = 4이면 f(3)≠3f ( 3 ) \ne 3이므로 f(3)=1f ( 3 ) = 1, f(4)=3f ( 4 ) = 3의 11가지 즉 f(1)=2f ( 1 ) = 2인 반례는 33개이다. f(1)=3f ( 1 ) = 3, f(1)=4f ( 1 ) = 4인 경우도 마찬가지로 각각 33개이다. 따라서 반례가 되는 함수 ff의 개수는 3×3=93 \times 3 = 9이다. 답 ③

태그

#함수#반례#일대일대응#경우의 수

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