대수삼각함수의 활용AI기본 문제 (3점 중반)

$a=2b`cos`rmC$인 삼각형의 모양

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 a=2bcos⁡Ca = 2 b \cos \mathrm{C}가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? [3점] ①a=ba = b인 이등변삼각형②b=cb = c인 이등변삼각형③∠A=π2\displaystyle \angle \mathrm{A} = \frac{\mathit{\pi}}{2}인 직각삼각형④∠C=π2\displaystyle \angle \mathrm{C} = \frac{\mathit{\pi}}{2}인 직각삼각형⑤정삼각형

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②

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해설

코사인법칙에서 cos⁡C=a2+b2−c22ab\displaystyle \cos \mathrm{C} = \frac{\mathit{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}}{2 ab}이므로 a=2b⋅a2+b2−c22ab=a2+b2−c2a\displaystyle a = 2 b \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{a} 양변에 aa를 곱하면 a2=a2+b2−c2a ^{2} = a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} b2=c2b ^{2} = c ^{2} b>0,c>0b > 0 , c > 0이므로 b=cb = c 따라서 b=cb = c인 이등변삼각형이다. 답은 ②

태그

#코사인법칙#삼각형의 모양#이등변삼각형

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