대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

2의 거듭제곱과 3m-2 교집합

문제

두 집합 $A = \left\{ 2 ^{l} \right|$ $l$ 은 자연수 $\left. \right\}$ , $B = \left\{ 3 m - 2 \right| m$ 은 자연수 $\left. \right\}$ 에 대하여 집합 $A \cap B$ 의 모든 원소를 작은 수부터 순서대로 모두 나열하여 만든 수열을 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이라 하자. $a _{4}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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256

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해설

[출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기 집합 $A$ 의 원소 중에서 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 인 항을 작은 수부터 차례로 나열하면 $4 , 16 , 64 , 256 , \cdots$ 따라서 $a _{4} = 256$ (별해) $2 ^{n} = 3 m - 2$ , $2 ( 2 ^{n - 1} + 1 ) = 3 m$ $\left( 2 ^{n - 1} + 1 \right)$ 이 $3$ 의 배수가 되어야 하므로 $n - 1 = 2 k - 1$ $( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ , $n = 2 k$ $\{ a _{n} \} :$ $2 ^{2} , 2 ^{4} , 2 ^{6} , 2 ^{8} , \cdots$ 따라서 $a _{4} = 256$

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