z+1/z이 실수일 때의 성질 판단

ㄱ. $\displaystyle z + \frac{1}{z}$가 실수이므로 그 켤레복소수와 같다. $\displaystyle z + \frac{1}{z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}}$에서 $\displaystyle z - \overline{z} = \frac{1}{\overline{z}} - \frac{1}{z} = \frac{z - \overline{z}}{z \overline{z}}$ $b \ne 0$이므로 $\displaystyle z - \overline{z} = 2 bi \ne 0$이고, 양변을 $\displaystyle z - \overline{z}$로 나누면 $\displaystyle z \overline{z} = 1$ (참) ㄴ. $\displaystyle z + \frac{1}{z} = t$ ($t$는 실수)라 하면 $\displaystyle z ^{2} + \frac{1}{z ^{2}} = t ^{2} - 2$, $\displaystyle z ^{4} + \frac{1}{z ^{4}} = \left( z ^{2} + \frac{1}{z ^{2}} \right) ^{2} - 2 = ( t ^{2} - 2 ) ^{2} - 2$는 실수이다. (참) ㄷ. (반례) $\displaystyle z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$이면 $\displaystyle z \overline{z} = 1$이므로 $\displaystyle z + \frac{1}{z} = z + \overline{z} = \sqrt{2}$는 실수이지만 $\displaystyle z ^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} i = i$는 실수가 아니다. (거짓) 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이므로 답은 ③이다.