유리수 근 조건과 판별식

계수가 유리수인 이차방정식의 두 근이 모두 유리수이려면 판별식이 어떤 유리수의 제곱이어야 한다. $D = 25 - 4 k$는 정수이므로 $D$는 $0$ 이상인 정수의 제곱이어야 한다. $k$가 자연수이므로 $D = 25 - 4 k$는 $25$보다 작은 홀수이고 $25 - 4 k = 1$에서 $k = 6$, $25 - 4 k = 9$에서 $k = 4$ 실제로 $k = 6$일 때 $x ^{2} - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 )$, $k = 4$일 때 $x ^{2} - 5 x + 4 = ( x - 1 ) ( x - 4 )$이므로 두 근이 모두 유리수이다. 따라서 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $6 + 4 = 10$이다.