유리식 부등식 정수

$x = - 1$일 때, 함수 $f ( x )$$= 0$이므로 분수식 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )}$가 정의되지 않는다. ⅰ) $x < - 2$일 때, $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$ $\leftrightarrow$ $- ( x + 1 ) > x$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle x < - \frac{1}{2}$ ∴ $x < - 2$ ⅱ) $- 2 < x < 2$일 때, $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$ $\leftrightarrow$ $1 > x$ ∴ $- 2 < x < 1$, $x \ne - 1$ ⅲ) $x \geq 2$일 때, $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{x + 1}{3} > x$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle x < \frac{1}{2}$ 따라서 부등식 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$을 만족시키는 $x$는 존재하지 않는다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 부등식 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$의 해는 $x < - 1$, $- 1 < x < 1$이다. 따라서 주어진 집합은 $\left\{ - 9 , - 8 , \cdots , - 2 , 0 \right\}$이다. 따라서 구하는 원소의 개수는 $9$개다. [다른 풀이] 주어진 등식의 양변에 $\displaystyle \frac{f ( x )}{x}$를 곱하면 좌변은 $\displaystyle \frac{x + 1}{x}$, 우변은 $f ( x )$가 되므로 $x$와 $f ( x )$의 부호가 바뀌는 $x$의 값을 기준으로 범위를 나누어 생각한다. ⅰ) $x < - 1$일 때, $x < 0$, $f ( x ) < 0$이므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$에서 $\displaystyle \frac{x + 1}{x} > f ( x )$ $x < - 1$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \frac{x + 1}{x}$의 그래프의 아래쪽에 있으므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{x} > f ( x )$가 성립한다. ∴ $x < - 1$ ⅱ) $- 1 < x < 0$일 때, $x < 0$, $f ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$에서 $\displaystyle \frac{x + 1}{x} < f ( x )$ $- 1 < x < 0$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \frac{x + 1}{x}$의 그래프의 위쪽에 있으므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{x} < f ( x )$가 성립한다. ∴ $- 1 < x < 0$ ⅲ) $x = 0$일 때, $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} = 1$이므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$가 성립한다. ⅳ) $x > 0$일 때, $x > 0$, $f ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{f ( x )} > x$에서 $\displaystyle \frac{x + 1}{x} > f ( x )$ 두 함수 $y = f ( x )$와 $\displaystyle y = \frac{x + 1}{x}$의 그래프는 $x = 1$, $x = - 1$일 때 만난다.

그림에서 $0 < x < 1$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \frac{x + 1}{x}$의 그래프의 아래쪽에 있으므로 $\displaystyle \frac{x + 1}{x} > f ( x )$이 성립한다. ∴ $0 < x < 1$ ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서 주어진 집합은 $x < 1$이고 $x \ne - 1$이며 $| x | < 10$을 만족시키는 정수 $x$의 집합으로 $\left\{ - 9 , - 8 , \cdots , - 2 , 0 \right\}$이다. 따라서 구하는 원소의 개수는 $9$개다.