공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

유리함수와 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{k}{x - 1} + k$ $\left( k > 1 \right)$ 의 그래프가 있다. 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{1} , k \right)$ 에 대하여 직선 $\mathrm{OP}$ 와 함수 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프가 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 원점으로부터 거리가 $1$ 인 직선 $l$ 이 함수 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프와 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$ , $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{PBA}$ 의 넓이를 $S _{1}$ , 삼각형 $\mathrm{PCO}$ 의 넓이를 $S _{2}$ 라 할 때, $2 S _{1} = S _{2}$ 이다. 상수 $k$ 에 대하여 $10 k ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, 직선 $l$ 은 좌표축과 평행하지 않다.) [4점]

$y = f \left( x \right)$

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[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

$\mathrm{Q} ( \mathit{a} , b )$ $y = f ( x )$

직선 $l$ 과 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프가 만나는 점 중 $\mathrm{B}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q} ( \mathit{a} , b )$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{APB}$ 와 삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 는 합동이고, $S _{2} = 2 S _{1}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = {\overline{QP}} = {\overline{CQ}} \cdots \text{㉠}$ $\mathrm{P} \left( \mathit{1} , k \right)$ 이므로 $\displaystyle b = \frac{k}{2} = f ( a )$ $\displaystyle \frac{k}{2} = \frac{k}{a - 1} + k$ 이므로 $a = - 1$ $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{- 1 , \mathit{k}}{2} \right)$ 또한 ㉠에 의하여 $\mathrm{C} ( - 3 , 0 )$ 직선 $l$ 의 방정식은 $kx - 4 y + 3 k = 0$ 이고 원점과 직선 $l$ 사이의 거리 $\displaystyle \frac{\left| 3 k \right|}{\sqrt{k ^{2} + 16}} = 1$ 이므로 $k ^{2} = 2$ 따라서 $10 k ^{2} = 20$

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