유리함수와 직선 삼각형 넓이

[출제의도] 유리함수의 그래프를 이용하여 조건을 만족하는 상수의 값을 구한다.

직선 $y = \mathit{-} x + 6$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면 $\mathrm{A} ( 6 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 6 )$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle \mathrm{OAB} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ 함수 $\displaystyle y = \frac{k}{x}$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} x + 6$은 모두 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OQB}$의 넓이는 서로 같다. 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이가 $14$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{OAP} = \triangle \mathrm{OQB} = \frac{1}{2} ( 18 - 14 ) = 2$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면 $\displaystyle \triangle \mathrm{OAP} = \frac{1}{2} \times 6 \times \mathit{b} = 2$에서 $\displaystyle b = \frac{2}{3}$이다. 점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = \mathit{-} x + 6$ 위의 점이므로 $\displaystyle b = \mathit{-} a + 6 = \frac{2}{3}$에서 $\displaystyle a = \frac{16}{3}$이다. 또, 점 $\mathrm{P}$는 함수 $\displaystyle y = \frac{k}{x}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle k = ab = \frac{16}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{32}{9}$ [다른풀이] 직선 $y = \mathit{-} x + 6$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면 $\mathrm{A} ( 6 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 6 )$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle \mathrm{OAB} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ 함수 $\displaystyle y = \frac{k}{x}$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} x + 6$은 모두 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OQB}$의 넓이는 서로 같다. 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이가 $14$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{OAP} = \triangle \mathrm{OQB} = \frac{1}{2} ( 18 - 14 ) = 2$ 세 삼각형 $\mathrm{OAP}$, $\mathrm{OPQ}$, $\mathrm{OQB}$의 넓이의 비와 세 선분 $\mathrm{{AP}}$, $\mathrm{PQ}$, $\mathrm{QB}$의 길이의 비가 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \mathrm{\overline{PQ}} : \mathrm{\overline{QB}}$$= 2 : 14 : 2$$= 1 : 7 : 1$ 그러므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 8$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1 \times 0 + 8 \times 6}{1 + 8} , \frac{1 \times 6 + 8 \times 0}{1 + 8} \right)$ 즉, $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{16}{3} , \frac{2}{3} \right)$ 이때 점 $\mathrm{P}$는 함수 $\displaystyle y = \frac{k}{x}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle k = \frac{16}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{32}{9}$ [다른풀이]

원점에서 직선 $y = \mathit{-} x + 6$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 직선 $\mathrm{OH}$와 직선 $y = \mathit{-} x + 6$은 서로 수직이므로 기울기의 곱이 $- 1$이어야 한다. 따라서 직선 $\mathrm{OH}$의 방정식은 $y = x$이고, 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $\left( 3 , 3 \right)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = \sqrt{3 ^{2} + 3 ^{2}} = 3 \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이가 $14$이므로 삼각형 $\mathrm{OPH}$의 넓이는 $7$이다. $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OH}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}} = 7$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = \frac{7 \sqrt{2}}{3}$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( a , - a + 6 \right)$이라 하면 점 $\mathrm{P}$와 직선 $x - y = 0$ 사이의 거리는 선분 $\mathrm{PH}$의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 2 a - 6 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{3}$ $a > 3$이므로 $\displaystyle a = \frac{16}{3}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{16}{3} , \frac{2}{3} \right)$이고 $\displaystyle k = \frac{16}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{32}{9}$