유리함수의 최댓값과 최솟값의 차

$\displaystyle \frac{8 x + 8}{x ^{2} + 4}$$= k$라 하면 $k ( x ^{2} + 4 ) = 8 x + 8$에서 $k x ^{2} - 8 x + 4 k - 8 = 0$ ⅰ) $k = 0$일 때, $x = - 1$ 따라서 $k$$= 0$이 가능하다. ⅱ) $k \ne 0$일 때, 이차방정식의 실근 $x$가 존재해야하므로 이차방정식의 판별식을 $D$라 할 때, $\displaystyle \frac{D}{4}$$= 4 ^{2} - k ( 4 k - 8 ) \geq 0$ $k ^{2} - 2 k - 4 \leq 0$ ∴ $\displaystyle 1 - \sqrt{5} \leq k \leq 1 + \sqrt{5}$이고 $k \ne 0$ ⅰ), ⅱ)에서 $\displaystyle 1 - \sqrt{5} \leq k \leq 1 + \sqrt{5}$이다. ∴ $\displaystyle M = 1 + \sqrt{5}$, $\displaystyle m = 1 - \sqrt{5}$ ∴ $\displaystyle M - m = 2 \sqrt{5}$ [다른 풀이] ⅰ) $x = - 1$일 때, $\displaystyle \frac{8 x + 8}{x ^{2} + 4}$$= 0$ ⅱ) $x > - 1$일 때, 산술평균과 기하평균과의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{8 x + 8}{x ^{2} + 4}$$\displaystyle = \frac{8}{\frac{x ^{2} + 4}{x + 1}}$$\displaystyle = \frac{8}{x + 1 + \frac{5}{x + 1} - 2}$$\displaystyle \leq \frac{8}{2 \sqrt{5} - 2}$$\displaystyle = 1 + \sqrt{5}$ ⅲ) $x < - 1$일 때, 산술평균과 기하평균과의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{8 x + 8}{x ^{2} + 4}$$\displaystyle = \frac{8}{\frac{x ^{2} + 4}{x + 1}}$$\displaystyle = \frac{8}{x + 1 + \frac{5}{x + 1} - 2}$$\displaystyle \geq \frac{8}{- 2 \sqrt{5} - 2}$$\displaystyle = 1 - \sqrt{5}$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 $\displaystyle 1 - \sqrt{5} \leq \frac{8 x + 8}{x ^{2} + 4} \leq 1 + \sqrt{5}$ ∴ $\displaystyle M = 1 + \sqrt{5}$, $\displaystyle m = 1 - \sqrt{5}$ ∴ $\displaystyle M - m = 2 \sqrt{5}$