유리함수 연속과 극값

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 함수의 성질을 추론한다. $x \ne \mathit{-} 1$일 때, $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{\mathit{n - \left( n ^{2} - n \right) x ^{n}}}{\left( x ^{n} + 1 \right) ^{2}}$ ㄱ. $n = 3$이면 $x < \mathit{-} 1$일 때, $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{3 - 6 x ^{3}}{\left( x ^{3} + 1 \right) ^{2}} > 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 구간 $\left( - \infty , - 1 \right)$에서 증가한다. (참) ㄴ. 함수 $f \left( x \right)$가 $x = \mathit{-} 1$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {f \left( x \right)} = f \left( - 1 \right)$이 성립한다. $n$이 홀수일 때, $x \rightarrow - 1$이면 (분모)$\rightarrow$$0$이고 (분자)$\rightarrow$$- n$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 극한값이 존재하지 않는다. $n$이 짝수일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {f \left( x \right)} = \mathit{-} \frac{n}{2}$이고 $f \left( - 1 \right) = \mathit{-} 2$이므로 $n = 4$이다. 따라서 $n = 4$일 때만 함수 $f \left( x \right)$가 $x = \mathit{-} 1$에서 연속이므로 $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{\mathit{4 - 12 x ^{4}}}{\left( x ^{4} + 1 \right) ^{2}}$이다. $x < 0$일 때 $f \left( x \right) < 0$이고, $x \geq 0$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소는 다음과 같다.

$\displaystyle 2 < \sqrt[4]{27}$이므로 방정식 $f \left( x \right) = 2$는 $x \geq 0$에서만 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) ㄷ. $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x ^{n} = \frac{1}{n - 1}$ ($n \ne 1$) (ⅰ) $n$이 홀수일 때 함수 $f \left( x \right)$는 극솟값을 갖지 않는다. (ⅱ) $n$이 짝수일 때 $n = 2$이면 함수 $f \left( x \right)$는 극솟값을 갖지 않고, $n \geq 4$이면 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{\sqrt[n]{n - 1}}$에서 극솟값을 갖는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 구간 $\left( - 1 , \infty \right)$에서 함수 $f \left( x \right)$가 극솟값을 갖도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $n$은 $4$, $6$, $8$, $10$이므로 그 합은 $28$이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.