유리함수 위 점과 대칭

$\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{\left( a , \frac{k}{a} \right)}$, $\displaystyle {\mathrm{Q}} \mathit{\left( a + 2 , \frac{k}{a + 2} \right)}$이므로 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \frac{\frac{k}{a + 2} - \frac{k}{a}}{a + 2 - a} = - 1$, $\displaystyle \frac{k}{a + 2} - \frac{k}{a} = - 2$, $\displaystyle \frac{- 2 k}{a \left( a + 2 \right)} = - 2$ 즉, $k = a \left( a + 2 \right)$ $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{k}{a} = a + 2$, $\displaystyle f \left( a + 2 \right) = \frac{k}{a + 2} = a$이다. 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $( a , a + 2 )$, 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $( a + 2 , a )$ 조건 (나)에 의하여 점 ${\mathrm{R}}$의 좌표는 $( - a , - a - 2 )$, 점 ${\mathrm{S}}$의 좌표는 $( - a - 2 , - a )$ 직선 ${\mathrm{PS}}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a + 2 - \left( - a \right)}{a - \left( - a - 2 \right)} = 1$이고, 직선 $\mathrm{RS}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- a - \left( - a - 2 \right)}{- a - 2 - \left( - a \right)} = - 1$, 직선 $\mathrm{QR}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- a - 2 - a}{- a - \left( a + 2 \right)} = 1$이므로 사각형 $\mathrm{PQRS}$는 직사각형이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \sqrt{\left( a + 2 - a \right) ^{2} + \left\{ a - \left( a + 2 \right) \right\} ^{2}} = 2 \sqrt{2}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} = \sqrt{\left\{ - \left( a + 2 \right) - a \right\} ^{2} + \left\{ - a - \left( a + 2 \right) \right\} ^{2}} = 2 \sqrt{2} \left( a + 1 \right)$ 사각형 $\mathrm{PQRS}$의 넓이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} \left( a + 1 \right) = 8 \left( a + 1 \right) = 8 \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle a = \sqrt{5} - 1$이므로 $\displaystyle k = a \left( a + 2 \right) = \left( \sqrt{5} - 1 \right) \left( \sqrt{5} + 1 \right) = 4$ [참고] 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{P}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$, ${\mathrm{S}}$의 위치는 다음과 같다.