유리함수 선분 곱 최솟값

[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{P}$의 $x$의 좌표를 $a$라 하자. $\left( \mathrm{i} \right)$ $a > 0$일 때,

$\mathrm{P}$$\displaystyle \left( a , \frac{3}{a} \right)$, $\mathrm{Q} \left( \mathit{a} , - a \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( - \frac{\mathit{12}}{a} , - a \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{a} + \frac{3}{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \mathit{a} + \frac{12}{a}$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \times {\overline{\mathrm{QR}}} = \left( a + \frac{3}{a} \right) \left( a + \frac{12}{a} \right) = a ^{2} + \frac{36}{a ^{2}} + 15$ $\displaystyle \geq 2 \sqrt{a ^{2} \times \frac{36}{a ^{2}}} + 15 = 27$ 등호가 성립하는 경우는 $\displaystyle a ^{2} = \frac{36}{a ^{2}}$, 즉 $\displaystyle a = \sqrt{6}$일 때이다. 그러므로 $\displaystyle a = \sqrt{6}$일 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \times {\overline{\mathrm{QR}}}$는 최솟값 $27$을 갖는다. $\left( \mathrm{ii} \right)$ $a < 0$일 때, $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( a , \frac{12}{a} \right)$, $\mathrm{Q} \left( \mathit{a} , - a \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( - \frac{\mathit{3}}{a} , - a \right)$이므로 $\left( \mathrm{i} \right)$에서와 같이 $\displaystyle a = - \sqrt{6}$일 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \times {\overline{\mathrm{QR}}}$는 최솟값 $27$을 갖는다. 따라서 $\left( \mathrm{i} \right)$, $\left( \mathrm{ii} \right)$에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \times {\overline{\mathrm{QR}}}$의 최솟값은 $27$