유리함수 평행이동

[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 구하여 상수의 값을 구한다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{3 x + k}{x + 4}$$\displaystyle = \frac{3 ( x + 4 ) + k - 12}{x + 4}$$\displaystyle = 3 + \frac{k - 12}{x + 4}$이고 곡선 $y = f \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 곡선은 $\displaystyle y - 3 = 3 + \frac{k - 12}{( x + 2 ) + 4}$ 이므로 $\displaystyle g ( x ) = \frac{k - 12}{x + 6} + 6$ 곡선 $y = g \left( x \right)$의 점근선의 방정식은 $x = - 6$, $y = 6$ 이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 $( - 6 , 6 )$이다. 점 $( - 6 , 6 )$이 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점이므로 $\displaystyle f ( - 6 ) = \frac{3 \times ( - 6 ) + k}{- 6 + 4} = 6$ ∴ $k = 6$ [다른 풀이] $\displaystyle f ( x ) = \frac{3 x + k}{x + 4}$$\displaystyle = \frac{3 ( x + 4 ) + k - 12}{x + 4}$$\displaystyle = 3 + \frac{k - 12}{x + 4}$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$의 점근선의 방정식이 $x = - 4$, $y = 3$이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 $\left( - 4 , 3 \right)$이다. 곡선 $y = g \left( x \right)$는 곡선 $y = f \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 곡선이므로 곡선 $y = g \left( x \right)$의 두 점근선의 교점은 점 $\left( - 4 , 3 \right)$을 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 점 $\left( - 6 , 6 \right)$과 같다. 점 $\left( - 6 , 6 \right)$이 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점이므로 $\displaystyle f ( - 6 ) = \frac{3 \times ( - 6 ) + k}{- 6 + 4} = 6$ ∴ $k = 6$