유리함수 평행이동

[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 함수를 추론한다. 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \frac{k}{x} + 5$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동시킨 그래프이므로 $\displaystyle g ( x ) = \frac{k}{x - m} + 5$ 조건 (가)에서 $g \left( a \right) = b$에서 $\displaystyle \frac{k}{a - m} + 5 = b$ …… ㉠ $g ( b ) = a$에서 $\displaystyle \frac{k}{b - m} + 5 = a$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $k = \left( b - 5 \right) \left( a - m \right) = \left( a - 5 \right) \left( b - m \right)$ $\left( a - b \right) \left( m - 5 \right) = 0$ $a \ne b$이므로 $m = 5$ 따라서 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{k}{x - 5} + 5$ $f \left( x \right) - g \left( x \right)$$\displaystyle = \left( \frac{k}{x} + 5 \right) - \left( \frac{k}{x - 5} + 5 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{5 k}{x \left( x - 5 \right)}$ $0 < x < 5$일 때 $\displaystyle \frac{1}{f \left( x \right) - g \left( x \right)}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{5 k} x \left( x - 5 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{5 k} \left\{ \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} - \frac{25}{4} \right\}$ 이므로 함수 $\displaystyle \frac{1}{f \left( x \right) - g \left( x \right)}$은 $\displaystyle x = \frac{5}{2}$에서 최댓값 $\displaystyle - \frac{1}{5 k} \times \left( - \frac{25}{4} \right) = \frac{5}{4 k}$를 갖는다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{5}{4 k} = \frac{5}{24}$이므로 $k = 6$ $\displaystyle g \left( 9 \right) = \frac{6}{9 - 5} + 5 = \frac{3}{2} + 5 = \frac{13}{2}$