유리함수 무리함수 실근 개수

$\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} \frac{ax - an}{x - 2} - n & & \left( x < 2 \text{또는} 2 < x < n \right) \\ - a \sqrt{x - n} - n & & \left( x \geq n \right) \end{cases}$ $\displaystyle \frac{ax - an}{x - 2} - n$$\displaystyle = \frac{a \left( x - 2 \right) + 2 a - an}{x - 2} - n$ $\displaystyle = \frac{a \left( 2 - n \right)}{x - 2} + a - n$ 이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} \frac{a \left( 2 - n \right)}{x - 2} + a - n & & \left( x < 2 \text{또는} 2 < x < n \right) \\ - a \sqrt{x - n} - n & & \left( x \geq n \right) \end{cases}$ (ⅰ) $0 < a < n$인 경우

$y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프는 다음 그림과 같고, $g \left( 0 \right) = 1$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a > n$인 경우

$y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프는 위 그림과 같고, $g \left( 0 \right) = 0$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $a < 0$인 경우

$y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프는 다음 그림과 같고, 이때 $\displaystyle g \left( t \right) = \begin{cases} 0 & & \left( t < 0 \right) \\ 2 & & \left( t = 0 \text{또는} n < t \leq n - a \right) \\ 3 & & \left( t = n \text{또는} t > n - a \right) \\ 4 & & \left( 0 < t < n \right) \end{cases}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $g \left( t \right) = 2$를 만족시키는 실수 $t$의 최솟값은 $0$, 최댓값은 $n - a$이다. 조건 (가)에서 $\displaystyle n - a = \frac{3}{2} n$이므로 $\displaystyle a = - \frac{1}{2} n$이고 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} \frac{n ^{2} - 2 n}{2 x - 4} - \frac{3}{2} n & & \left( x < 2 \text{또는} 2 < x < n \right) \\ \frac{1}{2} n \sqrt{x - n} - n & & \left( x \geq n \right) \end{cases}$ 조건 (나)에서 $g \left( n \right) = 3$이므로 $g \left( \left| f \left( 5 \right) \right| \right) = 2$

$f \left( 5 \right) < 0$인 경우 $- n < f \left( 5 \right) < 0$이므로 ㉠에서 $g \left( \left| f \left( 5 \right) \right| \right) = 4$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $f \left( 5 \right) \geq 0$ 즉, ㉠에서 $f \left( 5 \right) = 0$ 또는 $\displaystyle n < f \left( 5 \right) \leq \frac{3}{2} n$ ① $f \left( 5 \right) = 0$인 경우 $2 < n \leq 5$이면 $\displaystyle f \left( 5 \right) = \frac{1}{2} n \sqrt{5 - n} - n = 0$ $\displaystyle 2 n = n \sqrt{5 - n}$ $\displaystyle 2 = \sqrt{5 - n}$ $n = 1$이므로 조건을 만족시키지 않는다. $n > 5$이면 $\displaystyle f \left( 5 \right) = \frac{n ^{2} - 2 n}{6} - \frac{3}{2} n = \frac{1}{6} n \left( n - 11 \right) = 0$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $11$ ② $\displaystyle n < f \left( 5 \right) \leq \frac{3}{2} n$인 경우 $2 < n \leq 5$이면 $\displaystyle f \left( 5 \right) = \frac{1}{2} n \sqrt{5 - n} - n$이므로 $\displaystyle n < \frac{1}{2} n \sqrt{5 - n} - n \leq \frac{3}{2} n$ $\displaystyle 1 < \frac{1}{2} \sqrt{5 - n} - 1 \leq \frac{3}{2}$ $\displaystyle 4 < \sqrt{5 - n} \leq 5$ 그런데 $2 < n \leq 5$에서 $\displaystyle \sqrt{5 - n} < \sqrt{3}$이므로 조건을 만족시키지 않는다. $n > 5$이면 $f \left( 5 \right)$$\displaystyle = \frac{n ^{2} - 2 n}{6} - \frac{3}{2} n$$\displaystyle = \frac{1}{6} n ^{2} - \frac{11}{6} n$ $\displaystyle n < \frac{1}{6} n ^{2} - \frac{11}{6} n \leq \frac{3}{2} n$ $\displaystyle 1 < \frac{1}{6} n - \frac{11}{6} \leq \frac{3}{2}$ $6 < n - 11 \leq 9$ $17 < n \leq 20$ 이므로 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $18$, $19$, $20$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 모든 $n$의 값은 $11$, $18$, $19$, $20$이고 그 합은 $68$이다.