미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

유리함수 절댓값 교점 개수

문제

두 양수 aa, bb와 최고차항의 계수가 1\mathrm{1}인 이차함수 f(x)f \left( x \right)에 대하여 집합 {x∣x≠−a\left\{ x \left| x \neq - a \right. \right., xx는 실수}\}에서 정의된 함수 g(x)g \left( x \right)를 g(x)={bxx+a(x<−a,−a<x<1)f(x)(x≥1)\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{bx}{x + a} & & \left( x < - a , - a < x < 1 \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}} 이라 할 때, 함수 g(x)g \left( x \right)는 x=1x = 1에서 연속이다. 실수 tt에 대하여 함수 y=∣g(x)∣y = \left| g \left( x \right) \right|의 그래프와 직선 y=ty = t가 만나는 점의 개수를 h(t)h \left( t \right)라 할 때, 함수 h(t)h \left( t \right)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 임의의 두 양수 t1t _{1}, t2t _{2}에 대하여 t1<t2t _{1} < t _{2}이면 h(t1)≥h(t2)h \left( t _{1} \right) \geq h \left( t _{2} \right)이다. (나) 함수 h(t)h \left( t \right)는 t=0t = 0, t=αt = \alpha, t=β(0<α<β)t = \beta \left( 0 < \alpha < \beta \right)에서만 불연속이며 h(0)=αh \left( 0 \right) = \alpha, h(α)=β−1h \left( \alpha \right) = \beta - 1이다.

f(a−b)f \left( a - b \right)의 값을 구하시오. [4점]

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75

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해설

y=bxx+a=−abx+a+b\displaystyle y = \frac{b x}{x + a} = - \frac{a b}{x + a} + b이므로 함수 y=bxx+a\displaystyle y = \frac{b x}{x + a}의 그래프의 점근선은 x=−ax = - a, y=by = b 함수 g(x)g \left( x \right)는 x=1x = 1에서 연속이므로 g(1)=lim⁡x→1−bxx+a=b1+a<b\displaystyle g \left( 1 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} \frac{b x}{x + a} = \frac{b}{1 + a} < b 이차함수 f(x)f \left( x \right)의 꼭짓점의 xx좌표를 kk라 하자. k≤1k \leq 1일 때, 함수 y=∣g(x)∣y = \left| g \left( x \right) \right|의 그래프의 개형은 그림과 같다.

0<t≤b0 < t \leq b인 tt에 대하여 h(t)=2h \left( t \right) = 2이고 t>bt > b인 tt에 대하여 h(t)=3h \left( t \right) = 3이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 k>1k > 1 (ⅰ) f(k)>−bf \left( k \right) > - b일 때 (a) f(k)≥−g(1)f \left( k \right) \geq - g \left( 1 \right)일 때

∣f(k)∣≤g(1)\left| f \left( k \right) \right| \leq g \left( 1 \right)이므로 g(1)<t≤bg \left( 1 \right) < t \leq b인 tt에 대하여 h(t)=2h \left( t \right) = 2이고 t>bt > b인 tt에 대하여 h(t)=3h \left( t \right) = 3이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (b) −b<f(k)<−g(1)- b < f \left( k \right) < - g \left( 1 \right)일 때

g(1)<−f(k)<bg \left( 1 \right) < - f \left( k \right) < b이므로 −f(k)<t≤b- f \left( k \right) < t \leq b인 tt에 대하여 h(t)=2h \left( t \right) = 2이고 t>bt > b인 tt에 대하여 h(t)=3h \left( t \right) = 3이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) f(k)=−bf \left( k \right) = - b일 때

t<0t < 0일 때, h(t)=0h \left( t \right) = 0 t=0t = 0일 때, h(0)=3h \left( 0 \right) = 3 0<t<g(1)0 < t < g \left( 1 \right)일 때, h(t)=6h \left( t \right) = 6 t=g(1)t = g \left( 1 \right)일 때, h(g(1))=5h \left( g \left( 1 \right) \right) = 5 g(1)<t<bg \left( 1 \right) < t < b일 때, h(t)=4h \left( t \right) = 4 t≥bt \geq b일 때, h(t)=3h \left( t \right) = 3 그러므로 h(t)={0(t<0)3(t=0,t≥b)4(g(1)<t<b)5(t=g(1))6(0<t<g(1))\displaystyle h \left( t \right) = \begin{cases} 0 & & \left( t < 0 \right) \\ 3 & & \left( t = 0 , t \geq b \right) \\ 4 & & \left( g \left( 1 \right) < t < b \right) \\ 5 & & \left( t = g \left( 1 \right) \right) \\ 6 & & \left( 0 < t < g \left( 1 \right) \right) \end{cases} 이며 함수 h(t)h \left( t \right)는 조건 (가)를 만족시킨다. 함수 h(t)h \left( t \right)가 t=0t = 0, t=g(1)t = g \left( 1 \right), t=bt = b에서만 불연속이므로 조건 (나)에 의하여 α=g(1)\alpha = g \left( 1 \right), β=b\beta = b g(1)=α=h(0)=3g \left( 1 \right) = \alpha = h \left( 0 \right) = 3이므로 g(1)=b1+a=3\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{b}{1 + a} = 3 h(α)=h(g(1))=5h \left( \alpha \right) = h \left( g \left( 1 \right) \right) = 5이고 h(α)=β−1=b−1h \left( \alpha \right) = \beta - 1 = b - 1이므로 b=6b = 6, a=1a = 1 f(k)=−6f \left( k \right) = - 6이므로 f(x)=(x−k)2−6f \left( x \right) = \left( x - k \right) ^{2} - 6 f(1)=g(1)=3f \left( 1 \right) = g \left( 1 \right) = 3이므로 (1−k)2−6=3\left( 1 - k \right) ^{2} - 6 = 3에서 k=4k = 4 그러므로 f(x)=(x−4)2−6f \left( x \right) = \left( x - 4 \right) ^{2} - 6 (ⅲ) f(k)<−bf \left( k \right) < - b일 때

−f(k)>b- f \left( k \right) > b이므로 g(1)<t≤bg \left( 1 \right) < t \leq b인 tt에 대하여 h(t)=4h \left( t \right) = 4이고 b<t<−f(k)b < t < - f \left( k \right)인 tt에 대하여 h(t)=5h \left( t \right) = 5이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 f(a−b)=f(1−6)=(−5−4)2−6=75f \left( a - b \right) = f \left( 1 - 6 \right) = \left( - 5 - 4 \right) ^{2} - 6 = 75

태그

#연속#불연속#교점의 개수

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