유리함수 절댓값 그래프

[출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{- ax - b + 1}{ax + b} = \frac{1}{ax + b} - 1$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 $f \left( x \right) < k$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동하고 $y$축의 방향으로 $2 k$만큼 평행이동한 그래프이고, $f \left( x \right) \geq k$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 같다. $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} 2 k - f \left( x \right) _{{} _{}} & \left( f \left( x \right) < k \right) _{{} _{}} \\ f \left( x \right) ^{} & \left( f \left( x \right) \geq k \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| f \left( x \right) \right|}$ 또는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| 2 k - f \left( x \right) \right|}$이다. (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| f \left( x \right) \right|} = \frac{1}{2}$이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| \frac{1}{ax + b} - 1 \right|} = \mathit{1} \ne \frac{1}{2}$이므로 조건에 맞지 않는다. 한편 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| 2 k - f \left( x \right) \right|}$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| g \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left| 2 k - \frac{1}{ax + b} + 1 \right|} = \left| 2 k + 1 \right| = \frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{1}{4}$ 또는 $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{3}{4}$이다. (나)에서 $\left| g \left( 0 \right) \right| = 1$이고, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 한 점근선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{b}{a}$는 $ab > 0$이므로 $\displaystyle - \frac{b}{a} < 0$이다. (ⅰ) $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{1}{4}$, $a < 0$일 때 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} k$는 만나지 않으므로 조건 (다)에 맞지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{1}{4}$, $a > 0$ 일 때 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} k$는 서로 다른 세 점에서 만나므로 조건 (다)에 맞지 않는다. (ⅲ) $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{3}{4}$, $a < 0$ 일 때 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} k$는 한 점에서 만나므로 조건 (다)에 맞지 않는다. (ⅳ) $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{3}{4}$, $a > 0$ 일 때 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} k$는 서로 다른 두 점에서만 만나므로 조건 (다)를 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{3}{4}$, $a > 0$ 이때 $\left| g \left( 0 \right) \right| = f \left( 0 \right) = 1$이므로 $\displaystyle b = \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \left| g \left( \frac{1}{28} \right) \right| = f \left( \frac{1}{28} \right) = \mathit{-} k = \frac{3}{4}$에서 $a = 2$이다. 두 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$, $y = f \left( x \right)$의 그래프의 $x$절편이 같으므로 $\displaystyle 0 = \frac{1}{2 x + \frac{1}{2}} - 1$에서 $\displaystyle x = \frac{1}{4}$이다. 또한 $\displaystyle \left| g \left( \alpha \right) \right| = \frac{3}{4}$에서 $\displaystyle f \left( \alpha \right) = \mathit{-} \frac{3}{4}$이고 $\displaystyle \alpha = \frac{7}{4}$ 직선 $\displaystyle y = m \left( x - 4 \alpha \right) + \frac{3}{4}$이 지나는 점 $\displaystyle \left( 4 \alpha , \frac{3}{4} \right)$ 즉, $\displaystyle \left( 7 , \frac{3}{4} \right)$을 점 $\mathrm{A}$라 하고 $\mathrm{B} \left( 0 , 1 \right)$, $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{1}{4} , 0 \right)$이라 하면 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$와 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$의 기울기는 각각 $\displaystyle - \frac{1}{28}$, $\displaystyle \frac{1}{9}$이고 함수 $h \left( m \right)$은 다음과 같다. $\displaystyle h \left( m \right) = {\begin{cases} 1 & \left( m < \mathit{-} \frac{1}{28} \right) \\ 2 & \left( - \frac{1}{28} \leq m \leq 0 \right) \\ 3 & \left( 0 < m < \frac{1}{9} \right) \\ 2 & \left( m = \frac{1}{9} \right) \\ 1 & \left( m > \frac{1}{9} \right) \end{cases}}$ 함수 $h \left( m \right)$이 불연속이 되는 실수 $m$의 값은 $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{1}{28}$, $m = 0$, $\displaystyle m = \frac{1}{9}$이므로 모든 실수 $m$의 값의 합 $\displaystyle M = \mathit{-} \frac{1}{28} + 0 + \frac{1}{9} = \frac{19}{252}$이다. 따라서 $252 M = 19$