미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수 거리의 극한

문제

0<t<30 < t < 3인 실수 tt에 대하여 함수 y=∣2x−3∣\displaystyle y = \left| \frac{2}{x} - 3 \right|의 그래프와 직선 y=ty = t가 만나는 두 점 사이의 거리를 f(t)f ( t )라 할 때, lim⁡t→0+f(t)t\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{f ( t )}{t}의 값은? [4점] ①29\displaystyle \frac{2}{9}②13\displaystyle \frac{1}{3}③49\displaystyle \frac{4}{9}④59\displaystyle \frac{5}{9}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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③

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 x<0x < 0일 때, ∣2x−3∣=−2x+3>3\displaystyle \left| \frac{2}{x} - 3 \right| = - \frac{2}{x} + 3 > 3이므로 x<0x < 0에서 함수 y=∣2x−3∣\displaystyle y = \left| \frac{2}{x} - 3 \right|의 그래프와 직선 y=t(0<t<3)y = t \left( 0 < t < 3 \right)은 만나지 않는다. 0<x<23\displaystyle 0 < x < \frac{2}{3}일 때, ∣2x−3∣=2x−3\displaystyle \left| \frac{2}{x} - 3 \right| = \frac{2}{x} - 32x−3=t\displaystyle \frac{2}{x} - 3 = t에서 x=23+t\displaystyle x = \frac{2}{3 + t} x≥23\displaystyle x \geq \frac{2}{3}일 때, ∣2x−3∣=−2x+3\displaystyle \left| \frac{2}{x} - 3 \right| = - \frac{2}{x} + 3−2x+3=t\displaystyle - \frac{2}{x} + 3 = t에서 x=23−t\displaystyle x = \frac{2}{3 - t} 그러므로 f(t)=23−t−23+t=4t(3−t)(3+t)\displaystyle f \left( t \right) = \frac{2}{3 - t} - \frac{2}{3 + t} = \frac{4 t}{\left( 3 - t \right) \left( 3 + t \right)} lim⁡t→0+f(t)t\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( t \right)}{t}=lim⁡t→0+{1t×4t(3−t)(3+t)}\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \left\{ \frac{1}{t} \times \frac{4 t}{\left( 3 - t \right) \left( 3 + t \right)} \right\} =lim⁡t→0+4(3−t)(3+t)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{4}{\left( 3 - t \right) \left( 3 + t \right)} =49\displaystyle = \frac{4}{9}

태그

#극한#유리함수#절댓값

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