유리함수 두 넓이 합 최소

[출제의도] 유리함수를 이용하여 절대부등식 문제 해결하기

$\displaystyle y = \frac{1}{x}$

두 점 $\mathrm{A} \left( - 1 , - 1 \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \mathit{a} , \frac{1}{a} \right)$ $\left( a > 1 \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{\frac{1}{a} - \left( - 1 \right)}{a - \left( - 1 \right)} = \frac{\frac{1}{a} + 1}{a + 1} = \frac{\frac{a + 1}{a}}{a + 1} = \frac{1}{a}$ 이므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{a} \left( x + 1 \right) - 1$$\displaystyle = \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} - 1$ 이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{P} \mathit{\left( a - 1 , 0 \right)}$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( 0 , \frac{1}{a} - 1 \right)}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \mathit{a} - 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \mathit{1} - \frac{1}{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PB'}} = \mathit{a} - \left( a - 1 \right) = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BB'}} = \frac{\mathit{1}}{a}$ 이므로 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \left( a - 1 \right) \times \left( 1 - \frac{1}{a} \right) = \frac{a ^{2} - 2 a + 1}{2 a} = \frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{2 a}$ $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{a} = \frac{1}{2 a}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle S _{1} + S _{2} = \frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 a}$$\displaystyle = \frac{1}{a} + \frac{a}{2} - 1$ $\displaystyle \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a} \times \frac{a}{2}} - 1$$\displaystyle = \sqrt{2} - 1$ 이므로 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{2} - 1$이다.