유리함수 대칭점

[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이용하여 점근선의 교점을 구한다. $f ( x )$$\displaystyle = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} ( 2 x - 1 ) + \frac{3}{2}}{2 x - 1}$$\displaystyle = \frac{\frac{3}{2}}{2 x - 1} + \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{\frac{3}{4}}{x - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$ 이므로 유리함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{\frac{3}{4}}{x - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$의 그래프는 유리함수 $\displaystyle y = \frac{\frac{3}{4}}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{2}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{2}$만큼 평행이동한 그래프이다. 유리함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{\frac{3}{4}}{x - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$의 그래프는 두 점근선의 교점 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$, $\displaystyle q = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $p + q = 1$ [참고] 유리함수 $\displaystyle y = \frac{cx + d}{ax + b}$(단, $a \ne 0$, $ad - bc \ne 0$)의 그래프의 점근선의 방정식은 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{b}{a}$, $\displaystyle y = \frac{c}{a}$이고, 그래프는 두 점근선의 교점 $\displaystyle \left( - \frac{b}{a} , \frac{c}{a} \right)$에 대하여 대칭이다.