유리함수 치역의 정수

[출제의도] 수열 문제 해결하기 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{\left( k + 1 \right) x + 3 k + 6}{3 \left( x + 1 \right)}$$\displaystyle = \frac{\left( k + 1 \right) \left( x + 1 \right) + 2 k + 5}{3 \left( x + 1 \right)}$ $\displaystyle = \frac{2 k + 5}{3 \left( x + 1 \right)} + \frac{k + 1}{3}$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$

따라서 함수 $f \left( x \right)$의 치역은 $\displaystyle \left\{ y \left| \frac{k + 1}{3} < y < k + 2 \right\} \right.$ 이다. 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수는 $4 n$이므로 $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$보다 크고 $k + 2$보다 작은 정수의 개수가 $4 n$이면 된다.

$y = f \left( x \right)$ $\displaystyle y = \frac{k + 1}{3}$ $k + 2 - 4 n$ $k + 2 - 1$ $k + 2 - 2$ $\vdots$

위의 그림에서 $\displaystyle \left( k + 2 - 4 n \right) - 1 \leq \frac{k + 1}{3} < k + 2 - 4 n$ 이므로 $\displaystyle 6 n - \frac{5}{2} < k \leq 6 n - 1$ 이고, 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수가 $4 n$이 되도록 하는 자연수 $k$는 $6 n - 1$, $6 n - 2$이다. 그러므로 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $\left( 6 n - 1 \right) + \left( 6 n - 2 \right) = 12 n - 3$이므로 $a _{n} = 12 n - 3$이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 12 n - 3 \right) = 630$이다. [다른 풀이] $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{\left( k + 1 \right) x + 3 k + 6}{3 \left( x + 1 \right)}$$\displaystyle = \frac{\left( k + 1 \right) \left( x + 1 \right) + 2 k + 5}{3 \left( x + 1 \right)}$$\displaystyle = \frac{2 k + 5}{3 \left( x + 1 \right)} + \frac{k + 1}{3}$ 이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$

따라서 함수 $f \left( x \right)$의 치역은 $\displaystyle \left\{ y \left| \frac{k + 1}{3} < y < k + 2 \right\} \right.$ 이다. 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수는 $4 n$이므로 $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$보다 크고 $k + 2$보다 작은 정수의 개수가 $4 n$이면 된다. (ⅰ) $k = 3 m - 1$($m$은 자연수) $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$보다 큰 가장 작은 정수는 $\displaystyle \frac{k + 1}{3} + 1 = \frac{k + 4}{3}$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수는 $\displaystyle k + 2 - \left( \frac{k + 4}{3} \right) = 4 n$ 이다. $\displaystyle \frac{3 k + 6 - k - 4}{3} = 4 n$에서 $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3} = 4 n$이므로 $k = 6 n - 1$이다. 그러므로 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수가 $4 n$이 되도록 하는 자연수 $k$는 $6 n - 1$이다. (ⅱ) $k = 3 m - 2$($m$은 자연수) $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$보다 큰 가장 작은 정수는 $\displaystyle \frac{k + 1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{k + 2}{3}$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수는 $\displaystyle k + 2 - \left( \frac{k + 2}{3} \right) = 4 n$ 이다. $\displaystyle \frac{3 k + 6 - k - 2}{3} = 4 n$에서 $\displaystyle \frac{2 k + 4}{3} = 4 n$이므로 $k = 6 n - 2$이다. 그러므로 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수가 $4 n$이 되도록 하는 자연수 $k$는 $6 n - 2$이다. (ⅲ) $k = 3 m$($m$은 자연수) $\displaystyle \frac{k + 1}{3}$보다 큰 가장 작은 정수는 $\displaystyle \frac{k + 1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{k + 3}{3}$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수는 $\displaystyle k + 2 - \left( \frac{k + 3}{3} \right) = 4 n$ 이다. $\displaystyle \frac{3 k + 6 - k - 3}{3} = 4 n$에서 $\displaystyle \frac{2 k + 3}{3} = 4 n$이므로 $\displaystyle k = \frac{12 n - 3}{2} = 6 n - \frac{3}{2}$이다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수가 $4 n$이 되도록 하는 자연수 $k$는 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 함수 $f \left( x \right)$의 치역의 원소 중 정수의 개수가 $4 n$이 되도록 하는 자연수 $k$의 값의 합은 $12 n - 3$이므로 $a _{n} = 12 n - 3$이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 12 n - 3 \right) = 630$이다.