유리·무리함수 사이 점

[출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질을 이용하여 점의 개수를 추론한다. (ⅰ) $n = 1$ 또는 $n = 2$인 경우 주어진 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$가 존재하지 않으므로 $A _{1} = 0$, $A _{2} = 0$ (ⅱ) $n = 3$인 경우 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x - 3} + 3$, $\displaystyle g ( x ) = \sqrt{x + 3}$이고 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$는 $( 4 , 3 )$, $( 5 , 3 )$이므로 $A _{3} = 2$

(ⅲ) $n = 4$인 경우 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x - 4} + 4$, $\displaystyle g ( x ) = \sqrt{x + 4}$이고 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$는 $( 5 , 4 )$, $( 6 , 4 )$, $( 7 , 4 )$, $( 8 , 4 )$, $( 9 , 4 )$, $( 10 , 4 )$, $( 11 , 4 )$이므로 $A _{4} = 7$

(ⅳ) $n = 5$인 경우 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x - 5} + 5$, $\displaystyle g ( x ) = \sqrt{x + 5}$이고 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$는 $( 6 , 4 )$, $( 7 , 4 )$, $( 8 , 4 )$, $( 9 , 4 )$, $( 10 , 4 )$, $( 6 , 5 )$, $( 7 , 5 )$, $\cdots$, $( 15 , 5 )$이므로 $A _{5} = 15$

(ⅴ) $n \geq 6$인 경우

$y$좌표가 $n$인 $2 n$개의 점 $( n + 1 , n ) , ( n + 2 , n ) , \cdots , ( 3 n , n )$과 $y$좌표가 $n - 1$인 $2 n$개의 점 $( n + 1 , n - 1 ) , ( n + 2 , n - 1 ) , \cdots , ( 3 n , n - 1 )$이 모두 조건을 만족시킨다. 즉, $A _{n} \geq 4 n$ (ⅰ)~(ⅴ)에 의하여 $n \leq A _{n} \leq 3 n$을 만족시키는 모든 $A _{n}$의 값의 합은 $A _{4} + A _{5} = 7 + 15 = 22$