유리·무리함수 보기

[출제의도] 유리함수와 무리함수 그래프를 이용하여 추론하기 ㄱ. 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{x + 1} - 5$의 그래프의 점근선은 두 직선 $x = \mathit{-} 1$, $y = \mathit{-} 5$이므로 곡선 $y = f \left( x \right)$는 직선 $y = \mathit{-} 5$와 만나지 않는다. (참) ㄴ. 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = \sqrt{x + 1}$에서 $x = 0$, $3$, $8$일 때만 $y$좌표가 정수이다. (참) ㄷ. 그림과 같이 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x + 1} - 5$는 점 $\left( 0 , - 4 \right)$를 지나고, 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x + 1}$은 점 $\left( 0 , 1 \right)$을 지난다.

$0 \leq x \leq 8$에서 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x + 1} - 5$는 $x = 0$일 때만 $y$좌표가 정수이고 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x + 1}$은 $x = 0$, $3$, $8$일 때만 $y$좌표가 정수이다. 두 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x + 1} - 5$, $\displaystyle y = \sqrt{x + 1}$과 두 직선 $x = 0$, $x = 8$로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에서 $x = 0$, $1$, $2$일 때, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 각각 $6$이고 $x = 3$, $4$, $5$, $6$, $7$일 때, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 각각 $7$이고 $x = 8$일 때, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 $8$이다. 따라서 조건을 만족하는 모든 점의 개수는 $3 \times 6 + 5 \times 7 + 1 \times 8 = 61$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ