공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

유클리드 호제법 증명

문제

두 다항식 $A , B$ 가 있다. $A$ 를 $B$ 로 나누었을 때 몫을 $Q$ , 나머지를 $R$ 이라 하면 $A$ 와 $B$ 의 최대공약수는 $B$ 와 $R$ 의 최대공약수와 같음을 증명한 것이다. [증명] ( i ) 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 최대공약수를 $G$ 라 하면 $A = aG ,$ $B = bG$ ( $a , b$ 는 서로 소)이다. 이 때, $A$ 를 $B$ 로 나눈 몫이 $Q$ , 나머지가 $R$ 이므로 $A = B Q + R$ 이고 $R = A - BQ = aG - bGQ$ $= G ( a - bQ )$ 이다. $\therefore$ $G$ 는 $B$ 와 $R$ 의 (가)

이다. ( ii ) $b$ 와 $a - bQ$ 가 서로 소가 아니라고 가정하면, $b = mk ,$ $a - bQ = mk'$ ( $k , k'$ 은 서로 소) 이 때, $a = bQ + mk' =$ (나)

$\times ( kQ + k' )$ 이므로

(나)

는 $a , b$ 의 공약수가 되어 $\cdots \cdots$ (중략) $\therefore$ $b$ 와 $a - bQ$ 는 (다)

( i ), ( ii )에 의하여 $G$ 는 $B$ 와 $R$ 의 최대공약수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①공약수 $m$ 서로 소이다.②공배수 $1$ 서로 소가 아니다.③공약수 $m$ 서로 소가 아니다.④공배수 $m$ 서로 소이다.⑤공약수 $1$ 서로 소가 아니다.

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①

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해설

[출제의도] 두 다항식의 최대공약수를 추론하기 (i) 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 최대공약수를 $G$ 라 하면 $A = aG$ , $B = bG$ ( $a , b$ 는 서로 소)이다. 이때 $A$ 를 $B$ 로 나눈 몫이 $Q$ , 나머지가 $R$ 이므로 $A = BQ + R$ 이고 $R = G ( a - bQ )$ 이므로 $G$ 는 $B$ 와 $R$ 의 공약수이다. (ii) $b$ 와 $a - bQ$ 가 서로 소가 아니라고 가정하면 $b = mk , a - bQ = mk ^{'}$ ( $k , k ^{'}$ 은 서로 소) 이때 $a = bQ + mk ^{'} = \left\{ ( \text{나} ) m \right\} \times ( k ^{'} + k Q )$ 이므로 $\left\{ ( \text{나} ) m \right\}$ 은 $a , b$ 의 공약수가 되어 $a , b$ 가 서로 소라는 가정에 모순이다. 따라서 $b$ 와 $a - bQ$ 는 서로 소이다. (i), (ii)에 의하여 $B = bG , R = ( a - bQ ) G$ 에서 $G$ 는 공약수이고 $b$ 와 $a - bG$ 는 서로 소이므로 $G$ 는 $B$ 와 $R$ 의 최대공약수이다. ∴ (가) 공약수 , (나) $m$ , (다) 서로소이다

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