연속인 구간별 함수의 도함수

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-다항함수의 미분법 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = a$에서도 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} ( x ^{2} + 2 x - 1 ) = a ^{2} + 2 a - 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} ( x ^{2} + 4 x - 7 ) = a ^{2} + 4 a - 7$ $f ( a ) = a ^{2} + 4 a - 7$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} f ( x ) = f ( a )$이어야 하므로 $a ^{2} + 2 a - 1 = a ^{2} + 4 a - 7$ $\therefore a = 3$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} x ^{2} + 2 x - 1 & ( x < 3 ) \\ x ^{2} + 4 x - 7 & ( x \geq 3 ) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle f' ( x ) = {\begin{cases} 2 x + 2 & ( x < 3 ) \\ 2 x + 4 & ( x > 3 ) \end{cases}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {f' ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} ( 2 x + 2 ) = 8$