연속하는 두 자연수를 근으로 갖는 이차방정식

$x ^{2} - ( 2 k + 1 ) x + k ( k + 1 ) = 0$에서 좌변을 인수분해하면 $( x - k ) ( x - k - 1 ) = 0$이므로 $x = k$ 또는 $x = k + 1$ 두 근의 제곱의 합이 $61$이므로 $k ^{2} + ( k + 1 ) ^{2} = 61$ $2 k ^{2} + 2 k - 60 = 0$, 즉 $k ^{2} + k - 30 = 0$ $( k + 6 ) ( k - 5 ) = 0$에서 $k = - 6$ 또는 $k = 5$ $k = - 6$이면 두 근 $- 6 , - 5$가 자연수가 아니므로 조건에 맞지 않는다. $k = 5$이면 두 근은 $5 , 6$이고 $5 ^{2} + 6 ^{2} = 61$로 조건을 만족시킨다. 따라서 $k = 5$