연속한 항의 합이 0

[출제의도] 등차수열의 합의 성질을 이용하여 수열의 항을 추론한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $30$이고 공차가 $- d$인 등차수열이므로 $a _{n} = 30 - \left( n - 1 \right) d$ ($n \geq 1$) 이때 $a _{m} + a _{m + 1} + \cdots + a _{m + k}$ $\displaystyle = \frac{\left( k + 1 \right) \left\{ 30 - \left( m - 1 \right) d + 30 - \left( m + k - 1 \right) d \right\}}{2}$ $\displaystyle = \frac{\left( k + 1 \right) \left\{ 60 - \left( 2 m + k - 2 \right) d \right\}}{2}$$= 0$ $k + 1 > 0$이므로 $\left( 2 m + k - 2 \right) d = 60$ $\displaystyle 2 m + k = 2 + \frac{60}{d}$ 이를 만족하는 자연수 $m$, $k$이 존재하기 위해서는 $d$가 $60$의 약수이어야 한다. $60 = 2 ^{2} \times 3 \times 5$이므로 $d$의 개수는 $3 \times 2 \times 2 = 12$ [다른 풀이] 등차수열의 연속된 $\left( k + 1 \right)$개의 항의 합이 $0$이기 위한 수열의 조건은 다음과 같다. ⅰ) $k + 1$이 홀수일 때 $\cdots , d , 0 , - d , \cdots$ 이때 $d$는 $30$의 양의 약수가 되어야 하므로 $d = 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30$ ⅱ) $k + 1$이 짝수일 때 $\displaystyle \cdots , \frac{d}{2} , - \frac{d}{2} , \cdots$ 이때 $\displaystyle 30 - ( n - 1 ) d = \frac{d}{2}$에서 $\displaystyle n = \frac{1}{2} + \frac{30}{d}$ $n$은 자연수이므로 $d = 4 , 12 , 20 , 60$ ⅰ), ⅱ)에서 구하는 $d$의 개수는 $12$이다.