연속함수와 극한

[출제의도] 함수의 연속 이해하기 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{x ^{3} + ax + b}{{x - 1} _{{} _{}}} & \left( x \ne 1 \right) _{{} _{}} \\ 4 ^{{} ^{}} & \left( x = 1 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$이고 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 1$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{x ^{3} + ax + b}{x - 1} = 4}$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( x - 1 \right) = 0}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( x ^{3} + ax + b \right)} = 1 + a + b = 0$, $b = \mathit{-} a - 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{x ^{3} + ax - a - 1}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + x + a + 1 \right)}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( x ^{2} + x + a + 1 \right)}$ $= 3 + a$$= 4$ 따라서 $a = 1$, $b = \mathit{-} 2$이므로 $a \times b = \mathit{-} 2$