연속함수의 최솟값

[출제의도] 함수의 연속성을 이해하여 문제를 해결할 수 있는가? 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) g ( x ) = x ( x + 3 )$ 이고 조건 (나)에서 $g ( 0 ) = 1$이므로 위의 식에 $x = 0$을 대입하면 $f ( 0 ) g ( 0 ) = 0$ , $f ( 0 ) = 0$ 이때, $f ( x )$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로 $f ( x ) = x ( x ^{2} + ax + b )$($a , b$는 상수) 이때, $\displaystyle g ( x ) = \frac{x ( x + 3 )}{f ( x )} = \frac{x ( x + 3 )}{x ( x ^{2} + ax + b )}$ 한편, 함수 $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} g ( x ) = g ( 0 )$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{x ( x + 3 )}{x ( x ^{2} + ax + b )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{x + 3}{x ^{2} + ax + b} = \frac{3}{b}$ 또, $g ( 0 ) = 1$ 이므로 $b = 3$ 이때 $\displaystyle g ( x ) = \frac{x + 3}{x ^{2} + ax + 3}$ 함수 $g ( x )$가 실수전체 집합에서 연속이어야 하므로 방정식 $x ^{2} + ax + 3 = 0$은 허근을 가져야 한다. 그러므로 $D = a ^{2} - 12 < 0$ $\displaystyle ( a + 2 \sqrt{3} ) ( a - 2 \sqrt{3} ) < 0$ $\displaystyle - 2 \sqrt{3} < a < 2 \sqrt{3}$ $\cdots \text{㉠}$ 한편, $f ( 1 )$이 자연수이므로 $f ( 1 ) = 1 \times ( 1 ^{2} + a + 3 ) = a + 4$ 에서 $a + 4$가 자연수이어야 하므로 $a > - 4$이고 $a$는 정수이다. ㉠에서 $a$의 값은 -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 이다. 한편 $\displaystyle g ( 2 ) = \frac{5}{2 a + 7}$이고 $a = 3$일 때, 이 값은 최솟값 $\displaystyle \frac{5}{13}$를 갖는다.