연속 조건 이차함수

(ⅰ) 이차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 음수일 때

방정식 $\left| g \left( x \right) \right| = k$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 양수 $k$의 개수는 무수히 많다. (ⅱ) 이차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 양수일 때

위의 그림과 같이 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 극댓값이 $4$가 아닌 $2$보다 큰 실수인 경우 방정식 $\left| g \left( x \right) \right| = k$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 양수 $k$의 개수는 $2$개 이상이다.

따라서 조건을 만족하는 함수 $y = \left| g \left( x \right) \right|$의 그래프는 위의 그림과 같이 극댓값이 $4$이므로 $f \left( x \right) = ax ^{2} + bx + c$ (단, $a$, $b$, $c$는 실수) 라 놓으면 $f \left( 0 \right) = 4$에서 $c = 4$ $f \left( 6 \right) = - 2$에서 $36 a + 6 b + c = - 2$, $36 a + 6 b + 4 = - 2$ $6 a + b = - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle f \left( - \frac{b}{2 a} \right) = - 4$에서 $\displaystyle \frac{b ^{2}}{4 a} - \frac{b ^{2}}{2 a} + c = - 4$, $\displaystyle \frac{b ^{2}}{4 a} - \frac{b ^{2}}{2 a} + 4 = - 4$ $b ^{2} = 32 a$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $\left( - 6 a - 1 \right) ^{2} = 32 a$, $36 a ^{2} - 20 a + 1 = 0$ $\left( 18 a - 1 \right) \left( 2 a - 1 \right) = 0$, $\displaystyle a = \frac{1}{18}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 이때 함수 $f \left( x \right)$의 꼭짓점의 $x$좌표가 $0$과 $6$사이에 있어야 하므로 $\displaystyle a = \frac{1}{18}$일 때 $\displaystyle x = - \frac{b}{2 a} = \frac{1 + 6 a}{2 a} = 12$ 이므로 성립하지 않는다. $\displaystyle a = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle x = - \frac{b}{2 a} = \frac{1 + 6 a}{2 a} = 4$ 이므로 조건을 만족시킨다. $\therefore$$\displaystyle f \left( x \right) = \frac{x ^{2}}{2} - 4 x + 4$ $\therefore$$g \left( f \left( 2 \right) \right) = g \left( - 2 \right) = 6$