연속 함수와 다항함수

[출제의도] 연속함수의 성질을 이해하고 이를 활용하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f ( x ) - x ^{2}}{x - 1} = 2$ 이므로 다항함수 $f ( x ) = x ^{2} + 2 x + a$꼴이다. 함수 $g ( x )$는 모든 실수에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{2 x + a}{x - 1} = k$이어야 한다. $x \rightarrow 1$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값은 일정한 값이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. $2 \times 1 + a = 0$, $\therefore a = - 2$ $f ( x ) = x ^{2} + 2 x - 2$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{2 x - 2}{x - 1} = 2$ $\therefore k = 2$, $\therefore k + f ( 3 ) = 2 + 13 = 15$