연속 함수 h 존재 조건

출제의도 : 함수의 그래프의 특징을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구할 수 있는가? $f ( x ) = x ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$에서 $f' ( x )$ $= ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 ) + 2 x ( x - 1 ) ( x - 2 ) + x ( x - 1 ) ^{2}$ $= ( x - 1 ) \left\{ ( x - 1 ) ( x - 2 ) + 2 x ( x - 2 ) + x ( x - 1 ) \right\}$ $= 2 ( x - 1 ) \left( 2 x ^{2} - 4 x + 1 \right)$ $\displaystyle = 2 ( x - 1 ) \left( x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( x - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ 이므로 $f' ( x ) = 0$에서 $\displaystyle x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x = 1$, $\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ 즉 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x = 1$, $\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$에서 극값을 갖고 함수 $f ( x ) = x ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$의 그래프는 그림과 같이 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다.

또한 함수 $g ( x )$는 $g ( x ) = f ( x - a )$ 이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동시킨 것이다. 조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $( | x | - k ) h ( x ) = | g ( x ) - g ( k ) |$-----㉠ 이 성립하므로 ㉠에 $x = - k ( k > 0 )$을 대입하면 $( | - k | - k ) h ( - k ) = | g ( - k ) - g ( k ) |$ $( k - k ) h ( - k ) = | g ( - k ) - g ( k ) |$ 즉 $| g ( - k ) - g ( k ) | = 0$에서 $g ( - k ) = g ( k ) - - - -$----㉡ 또한 조건 (가)에서 함수 $h ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $| x | \neq k$일 때 조건 (나)에서 $\displaystyle h ( x ) = \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{| x | - k}$ $\displaystyle = \begin{cases} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{- x - k} & ( x < 0 ) \\ \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k} & ( x \geq 0 ) \end{cases}$ 이므로 함수 $h ( x )$는 $x = - k$, $x = k$에서 연속이어야 한다. $x \geq 0$일 때, 즉 음이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k} = \lim\limits _{x \rightarrow k +} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k}$ 이어야 한다. 그런데 $g' ( k ) \neq 0$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k} \times \lim\limits _{x \rightarrow k +} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k} < 0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k} \neq \lim\limits _{x \rightarrow k +} \frac{| g ( x ) - g ( k ) |}{x - k}$ 따라서 $g' ( k ) = 0 - - - -$ ----㉢ 이때 $g ( x ) = f ( x - a )$이므로 ㉢을 만족시 키는 $k$의 값은 $\displaystyle \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + a$, $1 + a$, $\displaystyle \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + a$ 중 하나이다. 그런데 (ㄴ)을 만족시켜야 하므로 $\displaystyle - \left\{ \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + a \right\} = \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + a$ $\displaystyle - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - a = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + a$ $2 a = - 2 , a = - 1$ 따라서 $\displaystyle k = \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 이므로 $\displaystyle a + 20 k ^{2} = - 1 + 20 \times \frac{1}{2} = 9$