영역 정사각형 중심

[출제의도] 여러 가지 미분법을 활용하여 문제해결하기 $g \left( x \right) = \left| e ^{x} - 2 \right|$라 하자. 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 1$의 교점의 좌표는 $\left( 0 , 1 \right)$, $\left( \ln 3 , 1 \right)$ $f \left( t \right)$는 한 변의 길이가 $t$인 정사각형의 꼭짓점이 $g \left( x \right)$의 그래프와 만날 때 정해진다. $0 < t \leq \ln 3$이면 두 점에서 만나고 $t > \ln 3$이면 한 점에서 만날 때이다. ⅰ) $0 < t \leq \ln 3$일 때

정사각형과 $y = g \left( x \right)$의 두 교점의 $x$좌표를 $a$와 $a + t$라 하면 두 교점의 좌표는 $\left( a , 2 - e ^{a} \right)$, $\left( a + t , e ^{a + t} - 2 \right)$ 두 교점의 $y$좌표가 같으므로 $\displaystyle e ^{a} = \frac{4}{e ^{t} + 1}$이고, $\displaystyle f \left( t \right) = 2 - e ^{a} + \frac{t}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( t \right) = 2 - \frac{4}{e ^{t} + 1} + \frac{t}{2}$ ⅱ) $t > \ln 3$일 때

정사각형과 $y = g \left( x \right)$의 교점의 좌표는 $\left( t , e ^{t} - 2 \right)$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( t \right) = e ^{t} - 2 + \frac{t}{2}$ 그러므로 함수 $f \left( t \right)$는 $\displaystyle f \left( t \right) = {\begin{cases} 2 - \frac{4}{e ^{t} + 1} + \frac{t}{2} & \left( 0 < t \leq \ln 3 \right) \\ e ^{t} - 2 + \frac{t}{2} & \left( t > \ln 3 \right) \end{cases}}$ 함수 $f \left( t \right)$의 도함수 $f' \left( t \right)$는 $\displaystyle f' \left( t \right) = {\begin{cases} \frac{4 e ^{t}}{\left( e ^{t} + 1 \right) ^{2}} + \frac{1}{2} & \left( 0 < t < \ln 3 \right) \\ e ^{t} + \frac{1}{2} & \left( t > \ln 3 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle f' \left( \ln 2 \right) + f' \left( \ln 5 \right) = \frac{25}{18} + \frac{11}{2} = \frac{62}{9}$ 따라서 $p = 9$, $q = 62$이고 $p + q = 71$