대수삼각함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역수를 두 근으로 하는 이차방정식

문제

이차방정식 2x2−x+k=02 x ^{2} - x + k = 0의 두 근이 sin⁡θ,cos⁡θ\sin \theta , \cos \theta이고, 1sin⁡θ,1cos⁡θ\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} , \frac{1}{\cos \theta}를 두 근으로 하는 이차방정식이 3x2+px+q=03 x ^{2} + px + q = 0일 때, p+qp + q의 값은? (단, k,p,qk , p , q는 상수이다.) [4점] ①−8- 8②−4- 4③00④44⑤88

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②

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해설

근과 계수의 관계에서 sin⁡θ+cos⁡θ=12\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}, sin⁡θcos⁡θ=k2\displaystyle \sin \theta \cos \theta = \frac{k}{2} sin⁡θ+cos⁡θ=12\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}의 양변을 제곱하면 1+2sin⁡θcos⁡θ=14\displaystyle 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}, sin⁡θcos⁡θ=−38\displaystyle \sin \theta \cos \theta = - \frac{3}{8} 1sin⁡θ+1cos⁡θ=sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θ=12×(−83)=−43\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{2} \times \left( - \frac{8}{3} \right) = - \frac{4}{3} 1sin⁡θ×1cos⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ=−83\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} \times \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = - \frac{8}{3} 따라서 1sin⁡θ,1cos⁡θ\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} , \frac{1}{\cos \theta}를 두 근으로 하는 이차방정식은 x2+43x−83=0\displaystyle x ^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{8}{3} = 0, 즉 3x2+4x−8=03 x ^{2} + 4 x - 8 = 0 p=4,q=−8p = 4 , q = - 8이므로 p+q=−4p + q = - 4이다. ②

태그

#근과 계수의 관계#삼각함수#이차방정식 작성

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