대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역수가 등차수열

문제

다음과 같이 정의된 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 있다. a1=1a _{1} = 1, 1an+1−1an=12\displaystyle \frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{2} (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots) a20a _{20}의 값은? [3점] ①221\displaystyle \frac{2}{21}②421\displaystyle \frac{4}{21}③521\displaystyle \frac{5}{21}④27\displaystyle \frac{2}{7}⑤37\displaystyle \frac{3}{7}

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①

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해설

1an=bn\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = b _{n}이라 하면, {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 공차가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등차수열이다. b1=1b _{1} = 1이므로 bn=1+12(n−1)=n+12\displaystyle b _{n} = 1 + \frac{1}{2} ( n - 1 ) = \frac{n + 1}{2}이다. 따라서 an=1bn=2n+1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{b _{n}} = \frac{2}{n + 1}이므로 a20=221\displaystyle a _{20} = \frac{2}{21}

태그

#등차수열#점화식

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