대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역수 치환으로 푸는 점화식 부등식의 최솟값

문제

a1=14,an+1=an3−2an\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4} , a _{n+1} = \frac{a _{n}}{3 - 2 a _{n}}(n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 ak<9−100a _{k} < {9} ^{- 100}을 만족시키는 kk의 최솟값은? ①4848②112112③200200④300300⑤366366

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

주어진 점화식의 양변에 역수를 취하면 1an+1=3⋅1an−2\displaystyle \frac{1}{a _{n+1}} = 3 \cdot \frac{1}{a _{n}} - 2 bn=1an\displaystyle b _{n} = \frac{1}{a _{n}}라 하면 bn+1=3bn−2b _{n+1} = 3 b _{n} - 2 bn+1−1=3(bn−1)b _{n+1} - 1 = 3 ( b _{n} - 1 ) 따라서, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 일정한 수 11을 뺀 수열이 공비가 33인 등비수열이다. b1=1an=4\displaystyle b _{1} = \frac{1}{a _{n}} = 4이므로 bn−1=3⋅3n−1b _{n} - 1 = 3 \cdot 3 ^{n-1} ∴bn=3n+1\therefore b _{n} = 3 ^{n} + 1 ∴an=13n+1\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{1}{3 ^{n} + 1} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 따라서, 13k+1<9−100=3−200\displaystyle \frac{1}{3 ^{k} + 1} < 9 ^{-100} = 3 ^{-200} 3k>3200−13 ^{k} > 3 ^{200} - 1 조건에 부합하는 kk의 최솟값은 200200

태그

#점화식#역수 치환#등비수열

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로