역함수와의 교점을 이용한 정적분 계산

$x \geq 0$에서 함수 $f \left( x \right)$는 증가함수이고 일대일대응이므로 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$의 근은 방정식 $f \left( x \right) = x$의 근과 일치한다. $\displaystyle \frac{x ^{2}}{12} + \frac{x}{2} + a = x$, $x ^{2} - 6 x + 12 a = 0$ 즉 방정식 $x ^{2} - 6 x + 12 a = 0$의 서로 다른 두 실근이 $b$, $2 b$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $b + 2 b = 6$에서 $b = 2$이고, $b \times 2 b = 12 a$에서 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$이다. $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{x ^{2}}{12} + \frac{x}{2} + \frac{2}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{b} ^{2 b} {} \left\{ g \left( x \right) - f \left( x \right) \right\} dx$$\displaystyle = 2 \int _{2} ^{4} {} \left\{ x - f \left( x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = 2 \int _{2} ^{4} {} \left( - \frac{x ^{2}}{12} + \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \right) dx$ $\displaystyle = - \frac{1}{6} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} - 3 x ^{2} + 8 x \end{array} \right] _{2} ^{4}$ $\displaystyle = \frac{2}{9}$