역함수와 연속 조건

조건 (가)에 의하여 $\displaystyle h \left( 0 \right) = \frac{g \left( 0 \right) - k}{0 - k} = 1$ $g \left( 0 \right) = 0$, $f \left( 0 \right) = 0$ 조건 (나)에 의하여 함수 $h \left( x \right)$는 $x = k$에서 연속이므로 $\displaystyle h \left( k \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k} {} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k} {} \frac{g \left( x \right) - k}{x - k}$ $g \left( k \right) = k$, $f \left( k \right) = k$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} {} \frac{g \left( x \right) - k}{x - k} = \lim\limits _{x \rightarrow k} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( k \right)}{x - k} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle g' \left( k \right) = \frac{1}{3}$ 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle g' \left( k \right) = \frac{1}{f' \left( g \left( k \right) \right)} = \frac{1}{f' \left( k \right)} = \frac{1}{3}$ $f' \left( k \right) = 3$ $f \left( 0 \right) = 0$, $f \left( k \right) = k$이고 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$는 $f \left( x \right) - x = x \left( x - k \right) \left( x - t \right) \left( t \right.$는 상수$\left. \right)$ $f \left( x \right) = x \left( x - k \right) \left( x - t \right) + x$ $f \left( x \right) = x ^{3} - \left( k + t \right) x ^{2} + \left( tk + 1 \right) x$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 2 \left( k + t \right) x + tk + 1$ $f' \left( k \right) = 3$이므로 $k ^{2} - tk - 2 = 0$ $\displaystyle t = k - \frac{2}{k}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 역함수가 존재하는 삼차함수 $f \left( x \right)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 2 \left( k + t \right) x + tk + 1 \geq 0$ $x$에 대한 이차방정식 $3 x ^{2} - 2 \left( k + t \right) x + tk + 1 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = 4 \left( k + t \right) ^{2} - 12 \left( tk + 1 \right) \leq 0$ ㉠을 대입하여 정리하면 $\displaystyle k ^{2} - 5 + \frac{4}{k ^{2}} \leq 0$이고 $k > 0$이므로 양변에 $k ^{2}$을 곱하면 $k ^{4} - 5 k ^{2} + 4 \leq 0$ $\left( k ^{2} - 1 \right) \left( k ^{2} - 4 \right) \leq 0$ $\left( k - 1 \right) \left( k + 1 \right) \left( k - 2 \right) \left( k + 2 \right) \leq 0$ $k + 1 > 0$, $k + 2 > 0$이므로 $\left( k - 1 \right) \left( k - 2 \right) \leq 0$ $1 \leq k \leq 2$ $f' \left( 0 \right) = tk + 1 = k ^{2} - 1$이므로 $k = 2$일 때, $f' \left( 0 \right)$의 값이 최대이다. 그러므로 $\alpha = 2$이고 이때 $t = 1$이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 x$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 x + 3 = 3 \left( x - 1 \right) ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{g \left( x \right) - 2}{x - 2} & & \left( x \ne 2 \right) \\ \frac{1}{3} & & \left( x = 2 \right) \end{cases}}$ 이다. $\displaystyle h \left( 9 \right) = \frac{g \left( 9 \right) - 2}{9 - 2}$ $\cdots \cdots$ ㉢ $g \left( 9 \right) = p$라 할 때, $f \left( p \right) = 9$이므로 $p ^{3} - 3 p ^{2} + 3 p = 9$ $p ^{3} - 3 p ^{2} + 3 p - 9 = 0$ $\left( p - 3 \right) \left( p ^{2} + 3 \right) = 0$ $p = 3$이므로 $g \left( 9 \right) = 3$ ㉢에 대입하여 정리하면 $\displaystyle h \left( 9 \right) = \frac{1}{7}$ 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle g' \left( 9 \right) = \frac{1}{f' \left( g \left( 9 \right) \right)} = \frac{1}{f' \left( 3 \right)}$ ㉡에 의하여 $f' \left( 3 \right) = 12$이므로 $\displaystyle g' \left( 9 \right) = \frac{1}{12}$ 따라서 $\displaystyle \alpha \times h \left( 9 \right) \times g' \left( 9 \right) = 2 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{42}$