대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

역함수 사각형 넓이

문제

곡선 $y = 2 ^{x} - 1$ 위의 점 $\mathrm{A} \left( 2 , 3 \right)$ 을 지나고 기울기가 $- 1$ 인 직선이 곡선 $y = \log _{2} \left( x + 1 \right)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 할 때, 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이는? [3점]

① $\displaystyle \frac{5}{2}$ ② $\displaystyle \frac{11}{4}$ ③ $3$ ④ $\displaystyle \frac{13}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{7}{2}$

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①

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해설

$y = 2 ^{x} - 1$ 과 $y = \log _{2} ( x + 1 )$ 는 서로 역함수 관계이므로 두 함수는 $y = x$ 에 대칭이다. $A ( 2 , 3 )$ 을 기울기가 $- 1$ 인 직선이 $y = \log _{2} ( x + 1 )$ 와 만나는 점은 $A ( 2 , 3 )$ 를 $y = x$ 에 대칭이동한 점이 된다. 그러므로 $B ( 3 , 2 )$ 가 된다. 따라서 사각형 $ACDB$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot ( {2 + 3} ) \cdot 1 = \frac{5}{2}$ 이다.

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