역함수 넓이

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f ( x )$에 대하여 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{\ln x + k}{x}$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \int f' ( x ) dx$ $\displaystyle = \int \left( \frac{\ln x}{x} + \frac{k}{x} \right) dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \ln x \right) ^{2} + k \ln x + C$ ($C$는 적분상수) 조건 (나)에서 $\displaystyle f \left( \frac{1}{e ^{2}} \right) = 0$, $f ( 1 ) = 0$이므로 $k = 1$, $C = 0$ $\therefore$$\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} \left( \ln x \right) ^{2} + \ln x$ 이때 $\displaystyle t > - \frac{1}{2}$인 실수 $t$에 대하여 직선 $y = t$가 곡선 $y = f ( x )$와 만나는 두 점의 $x$좌표 중 작은 값이 $g ( t )$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \ln g ( t ) \right\} ^{2} + \ln g ( t ) = t$ 양변에 $2$를 곱한 후 정리하면 $\left\{ \ln g ( t ) + 1 \right\} ^{2} = 2 t + 1$, $\displaystyle \ln g ( t ) + 1 = \pm \sqrt{2 t + 1}$ $\therefore$$\displaystyle g ( t ) = e ^{- 1 - \sqrt{2 t + 1}}$ 따라서 곡선 $y = g ( x )$와 $x$축, $y$축 및 직선 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{3}{2}} g ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{3}{2}} e ^{- 1 - \sqrt{2 x + 1}} dx$ $\displaystyle \sqrt{2 x + 1} = p$로 놓으면 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} = \frac{dp}{dx}$ $\therefore$$\displaystyle \frac{1}{p} = \frac{dp}{dx}$ $x = 0$일 때 $p = 1$, $\displaystyle x = \frac{3}{2}$일 때 $p = 2$이므로 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{3}{2}} e ^{- 1 - \sqrt{2 x + 1}} dx$ $\displaystyle = \int _{1} ^{2} p e ^{-1-p} dp$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - p e ^{-1-p} - e ^{-1-p} \end{array} \right] _{1} ^{2}$ $= \mathit{-} 3 e ^{- 3} + 2 e ^{- 2}$ $\displaystyle = \frac{2 e - 3}{e ^{3}}$ $a = 2$, $b = \mathit{-} 3$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 13$