역함수 존재 조각함수

$- ax ^{2} + 6 ex + b$는 $\displaystyle x = \frac{3 e}{a}$에서 $a ( \ln x ) ^{2} - 6 \ln x$는 $\displaystyle \ln x = \frac{3}{a}$에서 증감이 변한다. 따라서 $\displaystyle e ^{\frac{3}{a}} \leq c \leq \frac{3 e}{a}$ 그런데 $y = e ^{x}$와 $y = ex$의 그래프는 그림과 같이 $e ^{x} \geq ex$이고 등호는 $x = 1$일 때 성립한다.

그러므로 $\displaystyle \frac{3}{a} = 1$, $c = e$ 이다. $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} - 3 x ^{2} + 6 ex + b & ( x < e ) \\ 3 ( \ln x ) ^{2} - 6 \ln x & ( x \geq e ) \end{cases}$ $f ( x )$는 연속이므로 $- 3 e ^{2} + 6 e ^{2} + b = 3 - 6$, $b = - 3 - 3 e ^{2}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( \frac{1}{2 e} \right) =$$\displaystyle - 3 \left( \frac{1}{4 e ^{2}} \right) + \frac{6 e}{2 e} - 3 - 3 e ^{2}$ $\displaystyle = - 3 \left( e ^{2} + \frac{1}{4 e ^{2}} \right)$