역함수 조건과 교점 개수

함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수이므로 그 역함수 $f ^{- 1} \left( x \right)$도 증가하는 역함수이다. 조건 (가)에서 $4 \times \left\{ f ^{- 1} \left( x \right) \right\} ^{2} = x ^{2} \left( x ^{2} - 5 \right) ^{2}$, $\displaystyle \left| f ^{- 1} \left( x \right) \right| = \left| \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{5}{2} x \right|$ $\displaystyle f ^{- 1} \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{5}{2} x$ 또는 $\displaystyle f ^{- 1} \left( x \right) = - \frac{1}{2} x ^{3} + \frac{5}{2} x$

$\displaystyle h \left( x \right) = - \frac{1}{2} x ^{3} + \frac{5}{2} x$라 하면 $\displaystyle h' \left( x \right) = - \frac{3}{2} x ^{2} + \frac{5}{2}$ $\left| x \right| \leq 1$에서 $h' \left( x \right) \geq 0$이므로 함수 $h \left( x \right)$는 $\left| x \right| \leq 1$에서 증가한다. 함수 $f ^{- 1} \left( x \right)$는 $\left| x \right| \leq 1$에서 증가므로 $\displaystyle f ^{- 1} \left( x \right) = - \frac{1}{2} x ^{3} + \frac{5}{2} x$ 조건 (나)에서 $\left| x \right| > 1$일 때 $f ^{- 1} \left( x \right) = e ^{\left| x \right| - 1} + 1$ 또는 $f ^{- 1} \left( x \right) = - e ^{\left| x \right| - 1} - 1$ $x > 1$일 때 함수 $f ^{- 1} \left( x \right)$가 증가함수이므로 $f ^{- 1} \left( x \right) = e ^{x - 1} + 1$ $x < - 1$일 때 함수 $f ^{- 1} \left( x \right)$가 증가함수이므로 $f ^{- 1} \left( x \right) = - e ^{- x - 1} - 1$ 이상에서 $\displaystyle f ^{- 1} \left( x \right) = {\begin{cases} - e ^{- x - 1} - 1 & & \left( x < - 1 \right) \\ - \frac{1}{2} x ^{3} + \frac{5}{2} x & & \left( - 1 \leq x \leq 1 \right) \\ e ^{x - 1} + 1 & & \left( x > 1 \right) \end{cases}}$ 함수 $f ^{- 1} \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $\displaystyle \left( f ^{- 1} \right)' \left( x \right) = {\begin{cases} e ^{- x - 1} & & \left( x < - 1 \right) \\ - \frac{3}{2} x ^{2} + \frac{5}{2} & & \left( - 1 \leq x \leq 1 \right) \\ e ^{x - 1} & & \left( x > 1 \right) \end{cases}}$

$f ^{- 1} \left( - 1 \right) = - 2$, $f ^{- 1} \left( 1 \right) = 2$이므로 $f \left( - 2 \right) = - 1$, $f \left( 2 \right) = 1$ $\left( f ^{- 1} \right)' \left( - 1 \right) = \left( f ^{- 1} \right)' \left( 1 \right) = 1$이므로 $f' \left( - 2 \right) = f' \left( 2 \right) = 1$ $x < - 2$일 때 $f \left( x \right) = - \ln \left( - x - 1 \right) - 1$이므로 $t < - 2$인 실수 $t$에 대하여 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$에서의 접선이 점 $\left( 1 , 0 \right)$을 지난다고 하자. $\displaystyle f' \left( x \right) = - \frac{1}{x + 1}$이므로 $\displaystyle \frac{f \left( t \right)}{t - 1} = f' \left( t \right)$에서 $\displaystyle \frac{- \ln \left( - t - 1 \right) - 1}{t - 1} = - \frac{1}{t + 1}$, $\displaystyle \ln \left( - t - 1 \right) = - \frac{2}{t + 1}$ 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$에서의 접선의 기울기를 $k$라 하면 $\displaystyle k = - \frac{1}{t + 1} = \frac{1}{2} \ln \left( - t - 1 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{\ln x}{x}} = 0$이므로 기울기가 $m$이고 점 $\left( 1 , 0 \right)$을 지나는 직선이 곡선 $y = f \left( x \right)$와 만나는 점의 개수 $g \left( m \right)$은 $\displaystyle g \left( m \right) = {\begin{cases} 1 & & \left( m \leq 0 \right) \\ 3 & & \left( 0 < m < k \right) \\ 2 & & \left( m = k \right) \\ 1 & & \left( m > k \right) \end{cases}}$ 함수 $g \left( m \right)$이 $m = 0$, $m = k$에서 불연속이므로 $a = 0$, $b = k$ $g \left( a \right) = g \left( 0 \right) = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow a +} {g \left( m \right)} = \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {g \left( m \right)} = 3$, $g \left( b \right) = g \left( k \right) = 2$, $\displaystyle \frac{\ln b}{b} = \frac{\ln k}{k} = \frac{\ln \left( - \frac{1}{t + 1} \right)}{\frac{1}{2} \ln \left( - t - 1 \right)} = - 2$ 이므로 구하는 식의 값은 $1 \times 3 + 2 \times \left( - 2 \right) ^{2} = 11$ [참고] $x > 0$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 2 , f \left( 2 \right) \right)$에서의 기울기가 $1$인 접선도 점 $\left( 1 , 0 \right)$을 지난다. 이때 곡선 $y = f \left( x \right)$가 $0 < x < 2$에서 아래로 볼록하고, $x > 2$에서 위로 볼록하므로 점 $\left( 2 , f \left( 2 \right) \right)$가 곡선 $y = f \left( x \right)$의 변곡점이다. 따라서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 점 $\left( 1 , 0 \right)$을 지나는 직선의 교점의 개수 $g \left( m \right)$은 $m = 1$일 때 연속이다.