역함수 적분 넓이

[출제의도] 이계도함수를 활용하여 주어진 정적분 문제를 해결한다.

함수 $f ( x )$가 $f ( 1 ) < f ( 3 )$이고 일대일대응이므로 함수 $f ( x )$는 구간 $\left[ 1 , 3 \right]$에서 증가한다. 그러므로 $\displaystyle \int _{1} ^{3} f ( x ) dx$$\displaystyle = 3 \times 3 - 1 \times 1 - \int _{1} ^{3} {} g ( x ) dx$ 조건 (다)에 의해서 $\displaystyle \int _{1} ^{3} {} g ( x ) dx = 3$이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{3} f ( x ) dx$$= 8 - 3$$= 5$ $\displaystyle \int _{3} ^{7} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{1} ^{7} f ( x ) dx - \int _{1} ^{3} f ( x ) dx$$= 27 - 5$$= 22$ 조건 (나)에 의해서 함수 $f ( x )$의 그래프는 구간 $( 3 , 7 )$에서 위로 볼록하다. 조건 (가)에 의해서 $f ( 3 ) = 3$, $f ( 7 ) = 7$이므로 구간 $[ 3 , 7 ]$에서 $f ( x ) - x \geq 0$이다. $\displaystyle 12 \int _{3} ^{7} \left| f ( x ) - x \right| dx$ $\displaystyle = 12 \int _{3} ^{7} \left\{ f ( x ) - x \right\} dx$ $\displaystyle = 12 \left\{ \int _{3} ^{7} f ( x ) dx - \int _{3} ^{7} x dx \right\}$ $= 12 \times ( 22 - 20 )$$= 24$