역함수 교점 정수 부분

함수 $y = f ( x )$의 그래프와 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 $g ( n )$은 직선 $y = x$가 함수 $f ( x ) = 3 ^{x} - n$의 그래프와 만나는 두 점의 $x$좌표 중 큰 값과 같다. 또한 $\mathrm{2}$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 직선 $y = x$가 함수 $f ( x ) = 3 ^{x} - n$의 그래프와 만나는 두 점 중 한 점의 $x$좌표는 양수이고 다른 한 점의 $x$좌표는 음수이다. 따라서 $g ( n )$은 직선 $y = x$가 함수 $f ( x ) = 3 ^{x} - n$의 그래프와 제$\mathrm{1}$사분면에서 만나는 점의 $x$좌표와 같다. 곡선 $y = 3 ^{x} - n$이 점 $( 1 , 1 )$을 지나면 $1 = 3 ^{1} - n$에서 $n = 2$이므로 $g ( 2 ) = 1$ (ⅰ) 곡선 $y = 3 ^{x} - n$이 점 $( 2 , 2 )$를 지나면 $2 = 3 ^{2} - n$에서 $n = 7$이므로 $g ( 7 ) = 2$

$1 = g \left( 2 \right) < g \left( 3 \right) < \cdots < g \left( 6 \right) < g \left( 7 \right) = 2$ 따라서 $2 \leq n \leq 6$일 때, $1 \leq g ( n ) < 2$이므로 $h ( n ) = 1$ (ⅱ) 곡선 $y = 3 ^{x} - n$이 점 $( 3 , 3 )$을 지나면 $3 = 3 ^{3} - n$에서 $n = 24$이므로 $g ( 24 ) = 3$ $2 = g \left( 7 \right) < g \left( 8 \right) < \cdots < g \left( 23 \right) < g \left( 24 \right) = 3$ 따라서 $7 \leq n \leq 23$일 때, $2 \leq g ( n ) < 3$이므로 $h ( n ) = 2$ (ⅲ) 곡선 $y = 3 ^{x} - n$이 점 $( 4 , 4 )$를 지나면 $4 = 3 ^{4} - n$에서 $n = 77$이므로 $g \left( 77 \right) = 4$ $3 = g \left( 24 \right) < g \left( 25 \right) < \cdots < g \left( 76 \right) < g \left( 77 \right) = 4$ 따라서 $24 \leq n \leq 76$일 때, $3 \leq g ( n ) < 4$이므로 $h ( n ) = 3$ (ⅳ) 곡선 $y = 3 ^{x} - n$이 점 $( 5 , 5 )$를 지나면 $5 = 3 ^{5} - n$에서 $n = 238$이므로 $g ( 238 ) = 5$ $4 = g \left( 77 \right) < g \left( 78 \right) < \cdots < g \left( 237 \right) < g \left( 238 \right) = 5$ 따라서 $77 \leq n \leq 237$일 때, $4 \leq g ( n ) < 5$이므로 $h ( n ) = 4$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $h ( n ) < h ( n + 1 )$을 만족시키는 $2 \leq n \leq 100$인 모든 $n$의 값의 합은 $6 + 23 + 76 = 105$이다.