역함수 곡선 사각형

$f \left( x \right) = a ^{ax}$, $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{a} \log _{a} \left( x - \frac{1}{a} \right) - \frac{1}{a}$이라 하자. 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 역함수의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{a}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle - \frac{1}{a}$만큼 평행이동한 그래프이다. 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표가 $\displaystyle \left( a + \frac{1}{a} , 0 \right)$이므로 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{a} , a \right)$이다. 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표와 점 ${\mathrm{D}}$의 $x$좌표의 차가 $\displaystyle \frac{1}{a}$이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2}{a} , a ^{2} \right)$이다. 직선 ${\mathrm{AD}}$의 방정식은 $\displaystyle y = \left( a ^{3} - a ^{2} \right) \left( x - \frac{2}{a} \right) + a ^{2}$이고 직선 ${\mathrm{AD}}$가 원점을 지나므로 $\displaystyle 0 = \left( a ^{3} - a ^{2} \right) \left( 0 - \frac{2}{a} \right) + a ^{2}$, $2 \left( a ^{2} - a \right) = a ^{2}$, $a ^{2} - 2 a = 0$이다. $a > 1$이므로 $a = 2$이다. 그러므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( 1 , 4 \right)$, 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$, 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , 2 \right)$이다. 점 ${\mathrm{B}}$는 점 ${\mathrm{A}}$를 $y = x$에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{2}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle - \frac{1}{2}$만큼 평행이동한 점이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{9}{2} , \frac{1}{2} \right)$이다. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 지나는 직선이 $x$축과 만나는 점을 ${\mathrm{E}}$라 하자. 점 ${\mathrm{A}}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선의 방정식은 $y = - x + 5$이므로 점 ${\mathrm{E}}$의 좌표는 $\left( 5 , 0 \right)$이다.

삼각형 ${\mathrm{AOE}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$, 삼각형 ${\mathrm{DOC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 2 = \frac{5}{2}$, 삼각형 ${\mathrm{BCE}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$이다. 따라서 사각형 ${\mathrm{ABCD}}$의 넓이는 삼각형 ${\mathrm{AOE}}$의 넓이에서 삼각형 ${\mathrm{DOC}}$의 넓이와 삼각형 ${\mathrm{BCE}}$의 넓이를 뺀 값이므로 (사각형 ${\mathrm{ABCD}}$의 넓이)$\displaystyle = 10 - \frac{5}{2} - \frac{5}{8} = \frac{55}{8}$ [다른 풀이]

선분 ${\mathrm{AB}}$와 선분 ${\mathrm{DC}}$가 평행하므로 사각형 ${\mathrm{ABCD}}$는 사다리꼴이다. 직선 ${\mathrm{AB}}$와 직선 ${\mathrm{DC}}$의 기울기가 각각 $- 1$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = \sqrt{2} \times \left( \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{2}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{2} \times \left( \frac{9}{2} - 1 \right) = \frac{7}{2} \sqrt{2}$이다. 점 ${\mathrm{A}}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선의 방정식은 $y = - \left( x - 1 \right) + 4$이므로, 점 $\displaystyle {\mathrm{D}} \mathit{\left( \frac{1}{2} , 2 \right)}$에서 직선 $y = - \left( x - 1 \right) + 4$즉 $x + y - 5 = 0$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| \frac{1}{2} + 2 - 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{5}{4} \sqrt{2}$이다. 따라서 사각형 ${\mathrm{ABCD}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \right.$높이$\displaystyle \left. \right) \times \left( {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{DC}}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \sqrt{2} \times \left( 2 \sqrt{2} + \frac{7}{2} \sqrt{2} \right) = \frac{55}{8}$