역함수 곡선 최단거리

역함수는 $y = x$대하여 대칭이므로 함수 $\displaystyle f ( x ) = \ln \frac{x}{k}$의 접선 중 기울기가 $1$인 접선에서 $y = x$까지 거리의 두 배가 $l _{k}$이다. $f' ( x ) = 1$인 접점의 좌표는 $\displaystyle ( 1 , \ln \frac{1}{k} )$이다. $\displaystyle d = \frac{\left| 1 - \ln \frac{1}{k} \right|}{\sqrt{2}} = \frac{1 + \ln k}{\sqrt{2}} = \frac{( 1 + \ln k ) \sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle l _{k} = 2 d = ( 1 + \ln k ) \sqrt{2} \geq 3 \sqrt{2}$ 에서 $k \geq e ^{2}$ $\therefore$ $k$의 최솟값은 $8$