미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역함수 치환 정적분

문제

함수 $f \left( x \right) = e ^{x} + x - 1$ 과 양수 $t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle F \left( x \right) = \int _{0} ^{x} \left\{ t - f \left( s \right) \right\} ds$ 가 $x = \alpha$ 에서 최댓값을 가질 때, 실수 $\alpha$ 의 값을 $g \left( t \right)$ 라 하자. 미분가능한 함수 $g \left( t \right)$ 에 대하여 $\displaystyle \int _{f \left( 1 \right)} ^{f \left( 5 \right)} {} \frac{g \left( t \right)}{1 + e ^{g \left( t \right)}} dt$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$F' ( x ) = t - f ( x )$ $= 0$ 에서 $f ( \alpha ) = t$ 이므로 $\alpha = f ^{-1} ( t ) = g ( t )$ $g ( t ) = x$ 로 치환하면 $f ( x ) = t$ 이므로 $dt = f' ( x ) dx = ( e ^{x} + 1 ) dx$ $\displaystyle \int _{f ( 1 )} ^{f ( 5 )} \frac{g ( t )}{1 + e ^{g(t)}} dt$ $\displaystyle = \int _{1} ^{5}$ $\displaystyle \frac{x}{1 + e ^{x}} ( e ^{x} + 1 ) dx$ $\displaystyle = \int _{1} ^{5} x dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} x ^{2} \right] _{1} ^{5} = 12$

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